Subexponentiell lösbare harte Graphprobleme

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Angesichts der jüngsten Ergebnisse von Arora, Barak und Steurer, Subexponentielle Algorithmen für einzigartige Spiele und verwandte Probleme , interessiere ich mich für Graphprobleme , die subexponentielle Zeitalgorithmen haben, aber als nicht polynomiell lösbar gelten. Ein bekanntes Beispiel ist die Graphisomorphie subexponentiellen Algorithmus hat $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ Laufzeit. Ein weiteres Beispiel ist das log-Clique-Problem, das in quasi-polynomialer Zeit ( $n^{O(\log n)}$ ) lösbar ist .

Ich suche interessante Beispiele und vorzugsweise einen Verweis auf Umfragen zu subexponentiellen Problemen mit harten Graphen (nicht unbedingt $NP$ -vollständig). Gibt es auch $NP$ -vollständige Graphprobleme mit subexponentiellen Zeitalgorithmen?

Impagliazzo, Paturi und Zane zeigten, dass die Exponentialzeithypothese impliziert, dass Clique, k-Colorability und Vertex Cover $2^{\Omega(n)}$ Zeit benötigen .

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— Mohammad Al-Turkistany
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Der Vollständigkeit halber : log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti

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Übrigens kann das Max - Clique - Problem allgemein in Zeit wobeidie Größe der Eingabe ist. $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ $N$

Dies ist trivial, wenn der Graph über eine Adjazenzmatrix dargestellt wird, denn dann ist , und eine Brute-Force-Suche dauert . $N=|V|^2$ $2^{O(|V|)}$

Aber wir können dieselbe Grenze erhalten, auch wenn der Graph durch Adjazenzlisten dargestellt wird, und zwar über einen Algorithmus mit einer Laufzeit von . Um zu sehen, wie, lassen Sie uns eine $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ -Zeitalgorithmus für das NP-Gesamtentscheidungsproblem, bei dem wir einen Graphenundund wissen wollen, ob es eine Clique der Größe. $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

Der Algorithmus entfernt einfach alle Scheitelpunkte des Grades und die auf sie einfallenden Kanten und macht es dann erneut und so weiter, bis wir einen Scheitelpunkt-induzierten Untergraphen über einer Untergruppe von Scheitelpunkten haben, die jeweils einen Grad haben. oder mit einem leeren Diagramm. Im letzteren Fall wissen wir, dass keine Clique der Größe existieren kann. Im ersteren Fall, tun wir eine Brute-Force-Methode in der Zeit läuft unrund . Beachten Sie, dass und $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ , damit das , und so eine Brute-Force-Methode inZeit läuft läuft gerade in der Zeit $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ . $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— Luca Trevisan
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In der Tat argumentierten Impagliazzo, Paturi und Zane aus diesen Gründen, dass bei der Frage nach

vs

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

Komplexität

auf die Größe des Zeugeneinstellenmüssen (für den Sie einen Teil definieren müssen) das Problem). ImFallder

Klasse hat der Zeuge die Größe

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

für small

, während Sie, wie Sie sagen, davon ausgehen können, dass wlog mindestens

Kanten und die Eingabegröße ist viel größer als die Zeugengröße.

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— Boaz Barak

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Da jeder planare Graph auf Ecken die Baumbreite $n$ alle Probleme, die inlösbar sind $O(\sqrt{n})$ Zeit für Graphen mit einer Baumbreite von höchstens ~(es gibtVIELEsolcher Probleme), haben Subexponentialzeitalgorithmen auf ebenen Graphen, indem ein Konstantfaktor berechnet wird Annäherung an die Baumbreite in Polynomzeit (z. B. durch Berechnung der Verzweigungsbreite mit dem Ratcatcher-Algorithmus) und anschließende Ausführung des Baumbreiten-Algorithmus, was zu Laufzeiten der Form $O^*(2^{O(k)})$ $k$ für Graphen aufEckpunkten. Beispiele sind Planar Independent Set und Planar Dominating Set, die natürlich NP-vollständig sind. $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— Bart Jansen
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Es besteht eine enge Verbindung zwischen Unter exponentieller Zeit Lösbarkeit (SUBEPT) und festen Parameter Lenkbarkeit (FPT). Die Verbindung zwischen ihnen wird in dem folgenden Papier bereitgestellt.

Ein Isomorphismus zwischen subexponentieller und parametrisierter Komplexitätstheorie , Yijia Chen und Martin Grohe, 2006.

Kurz gesagt, sie führten einen Begriff ein, der als Miniaturisierungsabbildung bezeichnet wird und ein parametrisiertes Problem auf ein anderes parametrisiertes Problem abbildet . Wenn wir ein normales Problem als ein Problem betrachten, das durch die Eingabegröße parametrisiert ist, haben wir den folgenden Zusammenhang. (Siehe Satz 16 in der Arbeit) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Theorem . ist in SUBEPT, wenn in FPT ist. $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Achten Sie auf die Definitionen hier. Normalerweise betrachten wir das Problem der Klasse als in parametrisiert , so dass es keinen subexponentiellen Zeitalgorithmus gibt, für den eine Exponentialzeithypothese angenommen wird. Aber hier lassen wir das Problem durch die Eingangsgröße parametrisieren , so dass das Problem in gelöst werden kann $k$ $k$ $O(m+n)$ ist ein subexponentieller Zeitalgorithmus. Und der Satz sagt uns, dass dasKlassen-Problem ein fester Parameter ist, der unter der gewissen Verdrehung des Parametersnachvollziehbar ist, was vernünftig ist. $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

Im Allgemeinen können Probleme bei SUBEPT unter SERF-Reduktionen (subexponentielle Reduktionsfamilien) in Probleme bei FPT unter FPT-Reduktionen umgewandelt werden. (Theorem 20 in der Arbeit) Darüber hinaus sind die Verbindungen noch stärker, da sie einen Isomorphismus-Theorem zwischen einer ganzen Hierarchie von Problemen in der Exponential-Zeit-Komplexitätstheorie und der parametrisierten Komplexitätstheorie liefern. (Theorem 25 und 47) Obwohl der Isomorphismus nicht vollständig ist (es gibt einige fehlende Verbindungen zwischen ihnen), ist es immer noch schön, ein klares Bild über diese Probleme zu haben, und wir können subexponentielle Zeitalgorithmen über parametrisierte Komplexität untersuchen.

Weitere Informationen finden Sie in der Umfrage von Jörg Flum und Martin Grohe zusammen mit Jacobo Torán, dem Herausgeber der Komplexitätsspalte.

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯
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Ja. Übrigens haben Flum und Grohe die Umfrage geschrieben; Toran ist der Editor für Komplexitätsspalten.

— Andy Drucker

@ Andy: Danke für die Korrektur. Ich werde den Artikel entsprechend modifizieren.

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

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Ein anderes Beispiel ist das Cop and Robber-Spiel, das NP-hart ist, aber in der Zeit auf Graphen mit n Eckpunkten lösbar ist . BibTeX-Titelsatz in XML Fedor V. Fomin, Petr A. Golovach, Jan Kratochvíl, Nicolas Nisse, Karol Suchan: Verfolgung eines schnellen Räubers in einem Graphen. Theor. Comput. Sci. 411 (7-9): 1167-1181 (2010) $2^{o(n)}$

— XXYYXX
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Hoppla, das mag beschämend sein, aber ich hatte lange Zeit geglaubt, dass

-harte Probleme keine subexponentiellen Zeitalgorithmen haben, nur weil die Exponential Time Hypothese. :(

N P

$\mathsf{NP}$

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

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Keine Schande ... aber eine einfache Möglichkeit zu erkennen, dass dies nicht zutrifft, besteht darin, eine beliebige

-harte Sprache

und dann eine 'gepolsterte' Version

in der Die 'Ja'-Instanzen haben die Form

mit

für ein bestimmtes festes

. Dann

ist

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$ , hat aber einen deterministischen Algorithmus, der zeitlich im wesentlichen

.

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— Andy Drucker

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Der beste Näherungsalgorithmus für Clique liefert einen unglaublich schlechten Näherungsfaktor (man daran, dass der Näherungsfaktor von trivial ist). $n/\text{polylog } n$ $n$

Es gibt Näherungsergebnisse für die Härte unter verschiedenen Härteannahmen, die nicht ganz übereinstimmen, aber dennoch eine Härte von . Persönlich glaube ich, dass $n^{1-o(1)}$ Annäherung für Cliqueso gut wie Polynomialzeit-Algorithmen würde jemals tun. $n/\text{polylog } n$

Aber Näherung von $n/\text{polylog } n$ für clique kann jedoch leicht in quasi-polynomialer Zeit erfolgen.

Ein NP-hartes Problem ist ein Problem, das eine Polynomzeitverkürzung von SAT aufweist. Selbst wenn SAT Zeit , kann dies zu Zeit für das Problem führen, auf das wir reduzieren. Wenn letztere die Eingangsgröße N hat, kann es der Fall sein, dass für eine kleine Konstante . $2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— Dana Moshkovitz
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