Bedingungen für die Universalität der NFA

Man betrachte nichtdeterministische endliche Automaten $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ und eine Funktion $f(n)$ . Zusätzlich definieren wir $\Sigma^{\leq k} = \bigcup_{i \leq k} \Sigma^i$ .

Analysieren wir nun die folgende Aussage:

Wenn $\Sigma^{\leq f(|Q|)} \subseteq L(A)$ , dann ist $L(A) = \Sigma^*$ .

Es ist leicht zu zeigen, dass für $f(n) = 2^n+1$ gilt, wenn also die Automaten jedes Wort mit einer Länge von bis zu erzeugen Q | + $2^{|Q|}+1$ , dann erzeugt es $\Sigma^*$ .

Aber gilt es immer noch, wenn $f$ ein Polynom ist?

Wenn nicht, was könnte eine Konstruktion eines NFA $A$ für ein bestimmtes polynom $p$ aussehen, st $\Sigma^{\leq p(|Q|)} \subseteq L(A) \subsetneq \Sigma^*$ ?

Damit die Anweisung gültig ist, muss f exponentiell wachsen, auch mit dem unären Alphabet.

[Bearbeiten: Die Analyse wurde in Revision 2 leicht verbessert.]

Hier ist eine Beweisskizze. Angenommen, die Anweisung gilt und f sei eine Funktion, bei der jede NFA mit höchstens n Zuständen, die alle Zeichenfolgen mit der Länge höchstens f ( n ) akzeptiert, alle Zeichenfolgen überhaupt akzeptiert. Wir werden beweisen , dass für jede C > 0 und ausreichend groß n , haben wir f ( n )> 2 ^{C ⋅√ n} .

Der Primzahlsatz impliziert, dass es für jedes c <lg e und für ausreichend großes k mindestens c ⋅ 2 ^k / k Primzahlen im Bereich [2 ^k , 2 ^{k +1} ] gibt. Wir nehmen c = 1. Für ein solches k sei N _k = ⌈2 ^k / k ⌉ und definiere ein NFA M _k wie folgt. Sei p ₁ ,…, p _{N k} verschiedene Primzahlen im Bereich [2 ^k , 2 ^{k +1}]. Die NFA M _k hat S _k = 1 + p ₁ +… + p _{N k} Zustände. Abgesehen vom Anfangszustand sind die Zustände in N _k Zyklen unterteilt, wobei der i- te Zyklus die Länge p _{i hat} . In jedem Zyklus sind alle bis auf einen Zustand akzeptierte Zustände. Der Anfangszustand hat N _k ausgehende Flanken, von denen jede in jedem Zyklus unmittelbar nach dem zurückgewiesenen Zustand in den Zustand übergeht. Schließlich wird auch der Ausgangszustand übernommen.

Sei P _k das Produkt p ₁ … p _{N k} . Es ist leicht zu sehen , dass M _k alle Strings der Länge kleiner als akzeptiert P _k lehnt aber die Zeichenfolge der Länge P _k . Daher ist f ( S _k ) ≥ P _k .

Man beachte , daß S _k ≤ 1 + N _k ⋅2 ^{k +1} = O (2 ^{2 k} ) ist und daß P _k ≥ (2 ^k ) ^{N _k} ≥ 2 ^{2 k} . Der Rest ist Standard.

BEARBEITEN AM 12.10.06:

ok, das ist so ziemlich die beste Konstruktion, die ich bekommen kann. Mal sehen, ob jemand bessere Ideen hat.

Satz. Für jedes gibt es einen ( 5 n + 12 ) -Zustand NFA M über Alphabeten Σ mit | Σ | = 5, so dass die kürzeste Kette, die nicht in L ( M ) enthalten ist, die Länge ( 2 n - 1 ) ( n + 1 ) + 1 hat .$n$$(5n+12)$$M$$\Sigma$$|\Sigma|=5$$L(M)$$(2^n-1)(n+1)+1$

Dies ergibt .$f(n) = \Omega(2^{n/5})$

Die Konstruktion ist mit der in Shallit ziemlich identisch , außer dass wir eine NFA direkt konstruieren, anstatt die Sprache zuerst durch einen regulären Ausdruck darzustellen. Lassen

.$\Sigma = \{{0 \brack 0},{0 \brack 1},{1 \brack 0},{1 \brack 1},\sharp\}$

$n$$\Sigma^*-\{s_n\}$$s_n$ is the following sequence (take $n=3$ for example):

$s_3 = \sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 1}{1 \brack 0}\sharp \ldots \sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$.

The idea is that we can construct an NFA consists of five parts;

• ein Starter , der sicherstellt, dass der String mit beginnt$\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp$;
• a terminator, which ensures the string ends with $\sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$;
• a counter, which keeps the number of symbols between two $\sharp$'s as $n$;
• an add-one checker, which guarantees that only symbols with the form $\sharp{x \atop x+1}\sharp$ appears; finally,
• a consistent checker, which guarantees that only symbols with the form $\sharp{x \atop y}\sharp{y \atop z}\sharp$ can appear concurrently.

Note that we do want to accept $\Sigma^*-\{s_n\}$ instead of $\{s_n\}$, so once we find out that the input sequence is disobeying one of the above behaviors, we accept the sequence immediately. Otherwise after $|s_n|$ steps, the NFA will be in the only possible rejecting state. And if the sequence is longer than $|s_n|$, the NFA also accepts. So any NFA satisfies the above five conditions will only reject $s_n$.

It may be easy to check the following figure directly instead of a rigorous proof:

We start at the upper-left state. The first part is the starter, and the counter, then the consistent checker, the terminator, finally the add-one checker. All the arc with no terminal nodes point to the bottom-right state, which is an all time acceptor. Some of the edges are not labeled due to lack of spaces, but they can be recovered easily. A dash line represents a sequence of $n-1$ states with $n-2$ edges.

We can (painfully) verify that the NFA rejects $s_n$ only, since it follows all the five rules above. So a $(5n+12)$-state NFA with $|\Sigma|=5$ has been constructed, which satisfies the requirement of the theorem.

If there's any unclearliness/problem with the construction, please leave a comment and I'll try to explain/fix it.

This question has been studied by Jeffrey O. Shallit et al., and indeed the optimal value of $f(n)$ is still open for $|\Sigma|>1$. (As for unary language, see the comments in Tsuyoshi's answer)

In page 46-51 of his talk on universality, he provided a construction such that:

Theorem. For $n\geq N$ for some $N$ large enough, there is an $n$-state NFA $M$ over binary alphabets such that the shortest string not in $L(M)$ is of length $\Omega(2^{cn})$ for $c=1/75$.

Thus the optimal value for $f(n)$ is somewhere between $2^{n/75}$ and $2^n$. I'm not sure if the result by Shallit has been improved in recent years.