Ist ALogTime! = PH schwer zu beweisen (und unbekannt)?

Lance Fortnow behauptete kürzlich, dass der Nachweis von L! = NP einfacher sein sollte als der Nachweis von P! = NP :

NP vom logarithmischen Raum trennen. Ich habe in einer vor dem Blog 2001 durchgeführten Umfrage zur Diagonalisierung (Abschnitt 3) vier Ansätze genannt, von denen jedoch keiner eine Überlegung angestellt hat. Sollte viel einfacher sein, als P von NP zu trennen.

Abschnitt 3 der verknüpften Umfrage behauptet, dass keine aussagekräftigen Ergebnisse für den Zusammenbruch von Orakeln vorliegen:

Während die P! = NP-Frage ziemlich gewaltig bleibt, scheint die L! = NP-Frage viel leichter zu handhaben zu sein. Wir haben keinen Grund zu der Annahme, dass diese Frage schwierig ist. Das Fehlen guter Relativierungsmodelle für den Weltraum bedeutet, dass wir kein aussagekräftiges Orakelmodell haben, in dem L und NP kollabieren. Auch da L eine einheitliche Klasse ist, gelten die Einschränkungen von Razborov-Rudich [RR97] nicht.

Eine Frage zu bekannten Relativierungsbarrieren für L! = NP auf dieser Site wurde beantwortet und wies darauf hin, dass das PSPACE-vollständige Problem TQBF als Orakel für einen solchen Zusammenbruch verwendet werden kann. Ein Einwand, ob dies ein sinnvolles Orakelmodell sei, scheint ebenfalls beantwortet zu werden.

Aber selbst wenn ich verstehen würde, warum "wir haben kein sinnvolles Orakelmodell, in dem L und NP kollabieren" als korrekte Aussage angesehen werden sollte, hätte ich immer noch meine Zweifel, ob der Nachweis von L! = NP durchführbarer ist als der Nachweis von P! = NP. Wenn der Nachweis von L! = NP wirklich einfacher sein sollte als der Nachweis von P! = NP, sollte der Nachweis von ALogTime! = PH definitiv in Reichweite sein. (Der Umfrageartikel deutet auf die Möglichkeit hin, von zu trennen .) Ich denke, ALogTime! = PH ist noch offen, und ich möchte wissen, ob es gute Gründe gibt, damit zu rechnen, dass es schwierig sein wird, dies zu beweisen. $\Sigma_2^p$ $L$

cc.complexity-theory reductions relativization

— Thomas Klimpel
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Lance Fortnow 7:03 AM, 13. Mai 2016 : "Lassen Sie mich meinen Punkt umformulieren. Lassen Sie AP alternierende Polyzeit sein (PSPACE ist nicht relativiert und unterscheidet sich daher von L). Dann gibt es kein bekanntes Relativierungsmodell, das beide zu L = NP macht für ein Orakel, aber trennt L von AP für alle Orakel. "

— Thomas Klimpel

Antworten:

Ich bin mir nicht sicher, warum Fortnow sagt, dass es "kein sinnvolles Modell gibt, bei dem und kollabieren". Es scheint mir, dass QBF sie unter dem üblichen Ruzzo-Simon-Tompa-Orakel-Modell kollabieren lassen sollte (und der von Ihnen angegebene Link stimmt zu). Beachten Sie dieses Orakel Modell auch seine Tücken hat: wir haben , wenn und nur wenn für jedes Orakel , so dass jeder Orakel eine Trennung Zeuge der unrelativized Trennung bedeuten würde. $L$ $NP$ $L = NL$ $L^A = NL^A$ $A$

ALogTime = LOGTIME-Uniform . Also ja, ist offen. Es gibt einen relativierten Begriff von einheitlichem , und Sie können und unter diesem Begriff kollabieren . Siehe Satz 6 in http://link.springer.com/article/10.1007/BF01692056 . (Eine Einschränkung: Technisch betrachtet dieses Papier die LOGSPACE-einheitliche NC1, aber ich glaube, dass eine vernünftige Version dieser Orakelkonstruktion in der LOGTIME-einheitlichen Einstellung funktionieren sollte.) $NC1$ $ALogTime = NP$ $NC1$ $NP$ $NC1$

Darüber hinaus kenne ich keinen besonderen Grund zu der Annahme, dass es "schwer zu beweisen" ist, außer der Beobachtung, dass viele Menschen es versucht haben und keiner es bisher geschafft hat.

— Ryan Williams
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L = N L

$L = NL$

L^{A} = N L^{A}

$L^A = NL^A$

A

$A$

L

$L$

Ich glaube, es gibt einen Beweis für die Aussage in dem Artikel, den ich verlinkt habe. Zu Ihrem zweiten Satz: Fragen Sie sich, warum Fortnow sagt, dass Rasborow-Ruditsch nicht zutrifft? Wenn ja, ist sein Punkt, dass die Barriere für natürliche Beweise, wie allgemein verstanden, nur dann gilt, wenn das Modell, gegen das Sie eine Untergrenze haben, ungleichmäßig ist, z. B. P / Poly.

— Ryan Williams

Ah, ich habe falsch verstanden: Ich dachte, dass die Barriere, die nicht angewendet wurde, Relativierung war, keine natürlichen Beweise, sorry. Was ich fragen wollte, war: Warum ist Relativierung ein Hindernis für P gegen NP, aber moralisch nicht für L gegen NL? (Daher die Nichtbeziehung der Frage.)

— Michaël Cadilhac

Kurz gesagt, weil Sie mit dem RST-Orakelmodell nur dann nicht deterministische Schritte ausführen können, wenn das Orakelband leer ist. (Die Gründe dafür sind subtil; im Grunde genommen lassen sich einige Ergebnisse ohne sie nicht relativieren.) Das eigentliche Argument ist komplizierter ...

— Ryan Williams

Eine naive Idee, um ALogTime! = PH zu beweisen: Das Problem mit dem Booleschen Formelwert ist für ALogTime unter deterministischen Verkürzungen der Protokollzeit abgeschlossen . Wenn also ALogTime = PH, dann ist PH = coNP = ALogTime, und damit wäre das Boolesche Formelwertproblem unter deterministischen logarithmischen Zeitverkürzungen für coNP abgeschlossen. Daher würde sich die deterministische logarithmische Zeit vom Tautologieproblem zum Booleschen Formelwertproblem verkürzen.

Die deterministischen Verkürzungen der logarithmischen Zeit sollten harmlos sein, sie können nicht viel zur Lösung des Tautologieproblems beitragen. Sie sind nur eine nette Formalisierung, was bedeutet, dass eine Reduktion nur sehr lokal wirken kann. Daher ist die verbleibende Aufgabe zu verstehen, warum das Tautologieproblem nicht durch sehr lokale Reduktionen in ein Boolesches Formelwertproblem umgewandelt werden kann. Ich verstehe immer noch nicht, wie das geht, aber die verbleibende Aufgabe ist sehr klar, so dass ich zumindest die Chance habe zu verstehen, warum es schwierig ist (oder nicht).

— Thomas Klimpel
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