Maximale Gewichtsanpassung und submodulare Funktionen

Bei einem zweigeteilten Graphen mit positiven Gewichten sei mit gleich der maximalen Gewichtsanpassung im Graphen . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

Stimmt es, dass eine submodulare Funktion ist? $f$

matching submodularity

— George Octavian Rabanca
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Was denken Sie? Haben Sie versucht, es zu beweisen / zu widerlegen?

— Yuval Filmus

Intuitiv scheint es wahr zu sein, aber ich konnte es nicht beweisen. Ich denke auch, dass es ein bekanntes Ergebnis sein sollte, wenn es wahr ist, aber ich konnte keine Referenz finden.

— George Octavian Rabanca

Dies gilt für ungewichtete Fälle, da diese auf Kleinigkeiten reduziert werden können. Es ist nicht offensichtlich, wie man die gewichtete Version beweist ...

— Chao Xu

Betrachten Sie

mit den Kantengewichten 1,1,1,2.

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— András Salamon

@ AndrásSalamon Es scheint, als ob Sie im letzten Schritt annehmen, dass

additiv ist, was nicht wahr ist. Die maximale Übereinstimmung von

kann Eckpunkte verwenden, die bereits durch die Übereinstimmung von

und

. Ich habe jetzt einen Beweis dafür, bin aber definitiv mehr involviert.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— George Octavian Rabanca

Definition . Für eine gegebene endliche Menge ist eine Mengenfunktion submodular, wenn für jedes gilt: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Lemma Bei einem zweigeteilten Graphen mit positiven Kantengewichten sei die Funktion, die auf den Wert der maximalen Gewichtsübereinstimmung in abbildet. . Dann ist submodular. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Beweis. Fixiere zwei Mengen und sei und zwei Übereinstimmungen für die Graphen bzw. . Der Beweis des Lemmas reicht aus, um zu zeigen, dass es möglich ist, die Kanten in und in zwei disjunkte Übereinstimmungen und $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ für die Graphen bzw. . $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

Die Kanten von und bilden eine Sammlung alternierender Pfade und Zyklen. Lassen diese Sammlung bezeichnen und beobachten , dass kein Zyklus von enthält Vertices aus oder . Dies gilt, weil nicht mit diesen Eckpunkten übereinstimmt. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

$\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

$\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

$P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Octavian Rabanca
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M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$