"Überlauf" im erweiterten euklidischen Algorithmus

Es tut mir leid, wenn ich mich mit dem Ort irre, an dem ich die Frage stellen kann (vielleicht sollte ich zu stackoverflow.com/mathoverflow.net gehen?).

Ich frage mich, ob es einen Beweis dafür gibt, dass bei der Bewertung des erweiterten euklidischen Algorithmus die Bézout-Koeffizienten (dh s und t in der Identität als + bt = gcd ( a , b )) einige vernünftige Werte nicht überschreiten werden (abhängig von a, b, denke ich ). Insbesondere die Implementierung in einer universellen Programmiersprache interessiert mich für die Überlaufkorrektheit des Programms.

Um genau zu sein, kann ich erwähnen, dass ich Victor Shoups Beschreibung des Algorithmus verwende (4.2 in seinem Buch „ Eine rechnergestützte Einführung in die Zahlentheorie und Algebra “, das auf seiner Homepage frei verfügbar ist).

Dies nennt man die Identität / das Lemma von Bézout (nicht zu verwechseln mit dem Satz von Bézout in der algebraischen Geometrie), in dem es heißt:

$a,b \neq 0$$\gcd(a,b) = ax + by$$x,y$$|x| \leq |b|$$|y| \leq |a|$

Beweise können in Standard-Algebra-Lehrbüchern gefunden werden. Sie können es auch selbst beweisen, indem Sie die Iterationen des GCD-Prozesses einführen.

Im Allgemeinen gilt dies für jede euklidische Domäne mit einer multiplikativen euklidischen Funktion . In dem Fall hier, in dem , haben wirdas ist multiplikativ.$R$$f$$R = \mathbf{Z}$$f(x) = |x|$