Widerspruch zwischen Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz und dem Eigentum von Church-Rosser an CIC?

Einerseits besagt Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz, dass jede konsistente formale Theorie, die stark genug ist, um grundlegende arithmetische Aussagen auszudrücken, ihre eigene Konsistenz nicht beweisen kann. Andererseits sagt uns die Eigenschaft von Church-Rosser eines formalen (umschreibenden) Systems, dass es in dem Sinne konsistent ist, dass nicht alle Gleichungen ableitbar sind, zum Beispiel K I , da sie nicht die gleiche Normalität haben bilden. $\neq$

Dann erfüllt der Calculus of Inductive Constructions (CIC) beide Bedingungen eindeutig. Es ist stark genug, um arithmetische Sätze darzustellen (tatsächlich kann der Kalkül allein bereits die Kirchenzahlen codieren und alle primitiven rekursiven Funktionen darstellen). Darüber hinaus hat CIC auch den Zusammenfluss oder das Church-Rosser-Grundstück. Aber: $\lambda\beta\eta$

Sollte CIC nicht in der Lage sein, seine eigene Konsistenz durch den zweiten Unvollständigkeitssatz zu beweisen?

Oder heißt es nur, dass der CIC seine eigene Konsistenz innerhalb des Systems nicht beweisen kann und die Konfluenzeigenschaft irgendwie ein Metasatz ist? Oder garantiert die Konfluenz-Eigenschaft von CIC nicht die Konsistenz?

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand etwas Licht in diese Fragen bringen könnte!

Vielen Dank!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
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Inwiefern impliziert CR Konsistenz? Betrachten Sie die Beziehung

immer dann

wenn

x \to y

$x \rightarrow y$

x, y \in X

$x, y \in X$

— Martin Berger

@MartinBerger Sie sagen also, dass CR keine Konsistenz im CIC impliziert? Da tut es in dem

Kalkül, zB K

I . Und sorry, ich verstehe nicht, dass Sie darauf hinweisen, die obige Beziehung zu betrachten.

λ

$\lambda$

\neq

$\neq$

— StudentType

Ich weiß nichts über CIC, aber die offensichtliche Möglichkeit wäre, dass es nicht sein eigenes Church-Rosser-Eigentum beweist.

— Emil Jeřábek

Eine starke Normalisierung wäre für eine Typentheorie näher an der Konsistenz, nicht wahr? CR impliziert, dass es ungleiche Begriffe gibt, aber das schließt einen Bewohner der Leere nicht aus. Eine starke Normalisierung ist für cic intern nicht nachweisbar, so dass der Satz von Godels immer noch gilt

— Daniel Gratzer,

Die Intuition ist, dass es normalerweise leicht zu zeigen ist, dass sich kein schlechtes normales Objekt im System befindet. Wenn wir nun nachweislich zeigen können, dass alle Begriffe eine normale Form haben, sind wir fertig. Der Normalisierungsalgorithmus ist einfach zu formalisieren. Der schwierige Teil ist zu zeigen, dass es endet. Wenn wir Funktionen haben, die innerhalb des Systems schnell genug wachsen, können wir sie verwenden, um eine Obergrenze für die Beendigung des Normalisierungsalgorithmus zu beweisen. Ich denke, Girards altes Buch sollte diese haben. Beweise und Typen können auch. (Jedes gute Beweis-Theorie-Buch, das wahrscheinliche Gesamtfunktionen einer Theorie diskutiert, sollte es haben.)

— Kaveh

$\beta\eta$ $\bot$ $\lambda$

Zweitens ist es, wie Emil betonte, durchaus möglich, dass CIC diese Eigenschaft selbst nicht beweisen kann, selbst wenn CIC eine bestimmte Eigenschaft (CR oder Normalisierung) hat. In diesem Fall sehe ich keine Inkonsistenz in der Tatsache, dass CIC seine eigene CR-Eigenschaft nachweisen kann, und ich denke, dass dies tatsächlich der Fall ist (elementare kombinatorische Argumente reichen normalerweise für CR aus, und solche Argumente fallen definitiv in den großen Bereich logische Kraft von CIC). CIC beweist jedoch sicherlich nicht seine eigene Normalisierungseigenschaft, gerade wegen des zweiten Unvollständigkeitssatzes.

— Damiano Mazza
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⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

λ

$\lambda$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$