Ein interaktiver Beweis der Zahl Gottes?

Ich habe in letzter Zeit etwas über interaktive Beweise gelernt und mich gefragt, ob das Ganze nichts anderes als eine theoretische Neugier war oder ob es praktische Anwendungen hatte. Ich dachte, ich würde mit einem Beispiel beginnen, das mir beim Duschen einfiel:

In letzter Zeit wurde die Nachricht verbreitet, dass "Gottes Zahl" = 20 ist. (Gottes Zahl ist die minimale Anzahl von Schritten, die zum Lösen des Zauberwürfels erforderlich sind). Während dies ziemlich interessant ist, scheint es eine kleine Wendung zu geben ... Dies ist kein "normaler" Beweis im Lehrbuch, polynomial zeitlich überprüfbarer Sinn. Dieser Beweis hat einen ausgeprägten "Brute-Force" -Geschmack - damit meine ich, die Jungs in Dr. Morleys Labor haben mit Milliarden und Abermilliarden von Kombinationen von Würfeln in Googles massiven Supercomputern versucht, diese ordentliche, enge Untergrenze zu finden.

Wie auch immer, die Frage ist: Wie können wir sicher sein, dass Dr. Morley Davidson und sein Team ehrlich sind? Nun, sofort kann das Argument der Autorität aus dem Fenster geworfen werden, da es mathematisch nicht streng ist. Die naheliegende Alternative besteht darin, den Beweis erneut zu überprüfen, indem der Quellcode überprüft und das Ganze erneut ausgeführt wird. Dies scheint eine schreckliche Verschwendung von Rechenressourcen zu sein, ganz zu schweigen von der Tatsache, dass jeder, der davon überzeugt sein wollte, dies tun würde müssen es auf seiner eigenen Workstation tun - eine sehr mühsame und unangenehme Angelegenheit für den wahren Skeptiker. Dies scheint also eine Art ontologisches Deilema zu sein.

Ich glaube also, dass dies genau eine Situation ist, in der wir einen interaktiven Beweis benötigen . Googles Supercomputer könnte der allmächtige, aber trügerische Prüfer sein, und wir, die skeptischen, wenn nicht analen Mitglieder der Öffentlichkeit, sind die polynomiell begrenzten Verifizierer. Wenn wir unser "Orakel" irgendwie mehrmals polynomisch abfragen und von dieser Untergrenze überzeugt sein könnten, könnten wir davon überzeugt sein, dass er zweifelsohne Recht hat.

Es scheint also, dass das Entscheidungsproblem "Gottes Zahl ist <20" in oder wie folgt (informell) angepasst werden kann. $\Pi_2^p$

Für alle Startkombinationen im Zauberwürfel gibt es eine Lösung, die <= 20 Schritte benötigt, die sie löst. $\alpha$ $\beta$

(Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist, aber und sind beide klein. Angesichts einer Startkonfiguration und einer Lösung ist es einfach zu überprüfen, ob der Würfel tatsächlich gelöst wird.) $\alpha$ $\beta$

und das Entscheidungsproblem "Gottes Zahl ist 20" kann wie folgt angepasst werden

Gottes Zahl ist <20 und es gibt eine Lösung für eine Startkombination des Zauberwürfels, die 20 Schritte dauert.

Es gibt also wahrscheinlich einen IP [n] Beweis dafür. (Überprüfen Sie noch einmal meine Arbeitsweise)

Meine Frage ist zweifach

Gibt es einen tatsächlichen Weg, dies zu tun?
Welche anderen Beispiele für "praktische" Verwendungen interaktiver Beweise gibt es?

proofs puzzles interactive-proofs

— gabgoh
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Ich denke du meinst "Gottes Zahl" ist die maximale Anzahl von Zügen, die benötigt werden, um den Rubix-Würfel zu lösen. In ähnlicher Weise erwähnen Sie einige Male "diese saubere, enge Untergrenze", während Sie "Obergrenze" meinen.

— Ross Snider

Wie auch immer, eine teilweise Antwort auf Ihre Frage. Es gibt eine möglicherweise verwandte Frage cstheory.stackexchange.com/questions/2461/… . Nach meinem Verständnis lautet die Antwort auf Ihre erste Frage Ja - folgen Sie einfach dem Protokoll. Ich verstehe jedoch auch, dass sich die tatsächliche Teilnahme an einer interaktiven Proof-Einstellung nicht "durchgesetzt" hat. Weiß jemand, ob die beteiligten Konstanten sehr hoch sind?

— Ross Snider

Π_{2}

$\Pi_2$

P S P A C E

$PSPACE$

$\Pi_2^p$

$\rm{PH} \subseteq P^{\#P}$ $L\in \rm{PH}$

Mit ihren Techniken bewies Shamir, dass IP = PSPACE .

Es wurde zuvor bewiesen, dass alle IP-Adressen keine wissensbasierten Beweise haben.

Alle Sprachen in PSPACE verfügen über wissensfreie interaktive Beweise.

— MS Dousti
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Π_{2}

$\Pi_2$

^{# P}

$^{\#\mathrm{P}}$

@Peter: Wenn Sie mit "praktisch" meinen, dass der Prüfer BPP ist, dann haben Sie Recht. Tatsächlich haben nur NP-Sprachen solche Beweise.

— MS Dousti

Ich meinte mit "praktisch" etwas, bei dem der Prüfer ungefähr die gleiche Rechenleistung hat wie der Beweis, dass Gottes Zahl = 20.

— Peter Shor

α

$\alpha$

@sadeq: Vielleicht gibt es einige Probleme in MA und AM, aber mir ist nichts außerhalb dieser Klassen bekannt, das "praktische" interaktive Beweise enthält.

— Peter Shor

$20$ $G$ $s=\langle U, U', U^2, D, D', D^2,\cdots\rangle$ $m$ $\epsilon$ $\pi$

$n\lt m$ $n\ge m$ $\pi$ $A\subset G$ $\mathsf{AM}$

$\vert s \vert=18$ $m$

$n\ge m$ $\epsilon$ $g\in G$ $\frac{18^n}{\vert G \vert}$ $g$ $s$ $\le n$
$n \lt m$ $k=\vert A\vert$ $g\in G$ $g$ $\frac{18^n}{2 \vert G \vert}$ $\le n$

$\epsilon$ $\frac{1}{10^9}\vert G\vert$ $k$ $\frac{1}{10}\vert G\vert$

$n$

$g\in G$ $h$ $G$ $\frac{18^n}{\vert G \vert}$ $y$ $h$
$W$ $n$ $g$
$W$ $h(W)=y$ $\le n$ $g$
Arthur und Merlin wiederholen sich, um nach Bedarf zu verstärken

Da für Gruppen, denke ich, die Mischzeit mindestens der Durchmesser (Gottes Zahl) ist, liefert dies auch einen Arthur-Merlin- Beweis, um die Gotteszahl einer großen Gruppe zu begrenzen.

— Mark S.
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