Die dünnste Lösung für ein lineares Gleichungssystem finden

Wie schwer ist es, die dünnste Lösung für ein lineares Gleichungssystem zu finden?

Betrachten Sie formal das folgende Entscheidungsproblem:

Instanz: Ein lineares Gleichungssystem mit ganzzahligen Koeffizienten und einer Zahl .$c$

Frage: Gibt es eine Lösung für das System, bei der mindestens Variablen mit Null belegt sind?$c$

Ich versuche auch festzustellen, inwieweit die Abhängigkeit von . Das heißt, möglicherweise liegt das Problem in der FPT mit Parameter .$c$$c$

Alle Ideen oder Referenzen werden sehr geschätzt.

Betrachten Sie das Problem $\text{MAX-LIN}(R)$ die Anzahl erfüllter linearer Gleichungen über einen Ring maximieren $R$, der häufig NP-hart ist, zum Beispiel im Fall $R=\mathbb{Z}$

Nehmen Sie ein Beispiel für dieses Problem, $Ax=b$ wobei $A$ eine $n\times m$ Matrix ist. Sei $k=m+1$ . Konstruieren Sie ein neues lineares System $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ , wobei $\tilde{A}$ eine $kn \times (kn+m)$ Matrix ist, $\tilde{x}$ nun ein $(kn+m)$ dimensionaler Vektor ist und $\tilde{b}$ist ein dimensionaler Vektor:$kn$

wobeiIndien×n-Identitätsmatrix ist.

Man beachte, dass dieses System immer durch den Vektor erfüllt ist . Tatsächlich können die ersten m Einträge von ˜ x beliebig sein, und es gibt einen Lösungsvektor mit diesem Präfix.$\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$$m$$\tilde{x}$

Ich behaupte nun, dass der Bruchteil der Gleichungen von A x = b erfüllbar ist, wenn es eine spärliche Lösung von ˜ A ˜ x = ˜ b gibt, die mindestens δ n k Nullen hat. Dies liegt daran, dass jede erfüllte Zeile von A x = b k potenzielle Nullen ergibt, wenn x auf ˜ $\delta$$Ax=b$$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$$\delta nk$$Ax=b$$k$$x$$\tilde{x}$

Wenn wir also die Sparsity der dünnsten Lösung für , haben wir auch δ maximiert , indem wir die Sparsity durch k dividieren .$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$$\delta$$k$

Deshalb glaube ich, dass Ihr Problem NP-schwer ist.

Das Problem ist NP-vollständig, wenn man das folgende Problem herabsetzt: Gibt es bei einer Matrix A mit ganzzahligen Einträgen und einem ganzzahligen Vektor b mit n Einträgen einen 0-1-Vektor x mit A x = b ?$m\times n$$A$$b$$n$$x$$Ax=b$

Für jede Koordinate des Vektors x , $x_i$$x$

• führe neue Gleichungen x i + y i , k = 0 mit k = 1 , … , 100 ( n + m ) , und ein $100(n+m)$$x_i+y_{i,k}=0$$k=1,\ldots,100(n+m)$
• führe neue Gleichungen x i + z i , k = 1 mit k = 1 , … , 100 ( n + m ) ein . $100(n+m)$$x_i+z_{i,k}=1$$k=1,\ldots,100(n+m)$

Verwenden Sie weiterhin das alte Gleichungssystem .$Ax=b$

Es gibt eine 0-1-Lösung für das ursprüngliche System , wenn und nur wenn das neue System eine Lösung hat, in der mindestens 100 ( n + m ) n Variablen Null sind.$Ax=b$$100(n+m)n$

Dies nennt man das Sparsest Solution Vector-Problem, und es ist in der Tat NP-hart .

Dieses Problem ist in verschiedenen Einstellungen sehr schwer . Wie in den anderen Antworten auf diese Frage angegeben, ist das Problem über die ganzen Zahlen NP-vollständig.

Bei der Signalverarbeitung weisen die Matrix und die Vektoren rationale Einträge auf, und dieses Problem wird manchmal als Problem der spärlichen Rekonstruktion bezeichnet . In dieser Einstellung ist das Problem NP-vollständig (siehe Satz 1).

In der Codierungstheorie stammen die Einträge aus einem endlichen Feld, und dieses Problem wird manchmal als Maximum-Likelihood-Decodierungsproblem bezeichnet. In dieser Einstellung ist das Problem NP-vollständig und nicht in subexponentieller Zeit , wenn die Exponentialzeithypothese angenommen wird. Gemäß einer früheren Version eines Papers auf arXiv (siehe Lemma C.2 in Version 1 des Papers) ist das Problem außerdem W [1] -vollständig.