Poly-Zeit-Obermenge von NP-vollständiger Sprache mit unendlich vielen davon ausgeschlossenen Zeichenketten

Gibt es für jede beliebige NP-vollständige Sprache immer eine Polyzeit-Obermenge, deren Komplement ebenfalls unendlich ist?

Unter /cs//q/50123/42961 wurde eine triviale Version angefragt, die keine unendliche Ergänzung der Obermenge vorsieht

Für die Zwecke dieser Frage, können Sie davon ausgehen , dass . Wie Vor erklärte, ist die Antwort "Nein" , wenn ist. (Wenn , dann ist NP-vollständig. Es gibt eindeutig keine Obermenge von die unendlich ist und ein unendliches Komplement hat, wie das Komplement von nur hat ein einzelnes Element.) Somit können wir uns auf den Fall . $P \ne NP$ $P = NP$ $P = NP$ $X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}$ $X$ $X$ $P \ne NP$

cc.complexity-theory np-complete structural-complexity

— ARi
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Wenn

dann ist

NP-vollständig. Es ist klar, dass es keine Obermenge von

die unendlich ist und ein unendliches Komplement hat (beachte, dass

). So können Sie „Fokus“ auf das, was passiert , wenn

P = N P

$P = NP$

X = {x ∣ x \in N^{+} \land x > 1}

$X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}$

X

$X$

\bar{X} = {1}

$\bar{X} = \{1\}$

P \neq N P

$P \neq NP$

— Marzio De Biasi

Wie über die relativierten Version: Gibt es ein Orakel

st alle co-NP

- Sets sind P

- Immun.

A

$A$

^{A}

$^A$

^{A}

$^A$

— Lance Fortnow

@LanceFortnow ... oder für eine vollständige Sprache in einer bestimmten. Komplexitätsklasse, gibt es immer eine nicht triviale Obermenge einer geringeren Komplexität.

— ARi

Antworten:

Jede -komplette Menge enthält eine unendliche Teilmenge in Annahme, dass $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$

Pseudozufallsgeneratoren existieren und
Es gibt sichere Einweg-Permutationen.

Mit anderen Worten : unter der Annahme, dass diese beiden Vermutungen wahr sind, nicht ist -komplette Satz P- immun . Wie in den Kommentaren von Lance ausgeführt, wird dies durch Satz 4.4 von impliziert $\mathsf{coNP}$

Glasser, Pavan, Selman und Sengupta, " Properties of NP-complete sets ", SIAM J. Comput. 36 (2), 516–542.

(Kaveh hat bereits gezeigt , dass Ihre Frage äquivalent ist , ob jeder -komplette Sätze enthält eine unendliche Teilmenge. In anderer Sprache, dies zu sagen , dass keine -komplette Satz ist „ - Immun.“ Diese ist die Sprache, die im oben zitierten Theorem verwendet wird.) $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$

— Joshua Grochow
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ECCC Draft

— Kaveh

Durch starke Hardcore-Funktionen (und Iteration ) implizieren Einweg-Permutationen Pseudozufallsgeneratoren.

@ RickyDemer: Siehe Definitionen 4.1-4.3 in der zitierten Veröffentlichung. Wenn ich richtig verstehe, implizieren OWPs, was sie "Krypto-PRGs" nennen, aber nicht unbedingt, was sie "PRGs" in der Glasser-Pavan-Selman-Sengupta-Zeitung nennen. Für ihr Ergebnis brauchen sie (anscheinend) beide OWPs und das, was sie PRGs nennen.

— Joshua Grochow

Kaveh zeigte nur, dass die Äquivalenz zu co-NP-vollständigen Mengen P-immun ist, aber die Schlussfolgerung von Satz 4.4 in Glasser et al., Dass alle NP-vollständigen Mengen eine längenerhöhende Reduktion aufweisen müssen, impliziert auch, dass es keine co-NP-vollständigen Mengen gibt. Komplette P-Immun-Sets.

— Lance Fortnow

@JoshuaGrochow Danke ... aber gibt es Annahmen, die wir machen können, was wiederum die Nichtexistenz einer solchen Sprache impliziert. Ich war mehr an Szenarien interessiert, in denen es keine Poly-Time-Obermenge gibt

— ARi

Interessante Frage. Die Aussage

Für jedes NP-vollständige gibt es in P, so dass und unendlich sind. $L$ $U$ $L \subseteq U$ $U^c$

ist äquivalent zu:

für jeden NP-vollständig , Komplement von enthält ein unendliches P - Set. $L$ $L$

Das ist wiederum gleichbedeutend mit

jedes coNP-complete-set enthält ein unendliches p-set.

~~Das ist durch Symmetrie das gleiche wie~~

~~Jedes NP-Komplettset enthält ein unendliches P-Set.~~

Ich glaube nicht, dass die Antwort bekannt ist. Ich denke, natürliche NP-Komplett-Sets erfüllen diese Bedingung problemlos. Ich glaube nicht, dass wir Werkzeuge haben, um ein künstliches Set zu bauen, das die Aussage verfehlt. (Siehe Lances Kommentar unten)

— Kaveh
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Ihre ursprüngliche Aussage ist trivial wahr. (Sei U die volle Sprache.)

Es ist eine interessante Kette von Abzügen ... Könnten Sie ein Beispiel für eine vollständige NP-Sprache in dieser Hinsicht geben

— ARi

Die Symmetrie ergibt keinen Sinn. Zum Beispiel hat jede ce-Menge eine unendliche berechenbare Teilmenge, aber es gibt ce-Mengen, die dies nicht tun.

— Lance Fortnow