Gibt es ein natürliches Problem in der Quasi-Polynom-Zeit, aber nicht in der Polynom-Zeit?

László Babai hat kürzlich bewiesen, dass das Graph-Isomorphismus-Problem in quasipolynomialer Zeit vorliegt . Siehe auch seinen Vortrag an der Universität von Chicago, Anmerkung aus den Vorträgen von Jeremy Kun GLL nach 1 , GLL nach 2 , GLL nach 3 .

Nach Ladner Theorem, wenn $P \neq NP$ , dann $NPI$ nicht leer ist , dh $NP$ enthält Probleme , die weder in sind $P$ noch $NP$ -komplette. Die von Ladner konstruierte Sprache ist jedoch künstlich und kein natürliches Problem. Es ist kein natürliches Problem bekannt, das in $NPI$ auch unter $P \neq NP$ . Aber einige Probleme sind vermutlich gute Kandidaten für seine $NPI$ , wie Factoring ganze Zahlen und GI.

$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

Es gibt einige Probleme, für die wir quasi-polynomielle Zeitalgorithmen kennen, aber es ist kein polynomieller Zeitalgorithmus bekannt. Solche Probleme treten bei Approximationsalgorithmen auf; Ein berühmtes Beispiel ist das gerichtete Steiner-Baum-Problem, für das es einen quasi-polynomialen Zeitnäherungsalgorithmus gibt, der ein Näherungsverhältnis von ( ist die Anzahl der Eckpunkte). Es ist jedoch ein offenes Problem, das Vorhandensein eines solchen Polynomzeitalgorithmus aufzuzeigen.$O(\log^3 n)$$n$

Meine Frage:

Kennen wir irgendwelche natürlichen Probleme, die in aber nicht in ?$QP$$P$

Tatsächlich gab es in jüngster Zeit eine ganze Reihe von Arbeiten zum Nachweis der quasi-polynomialen Laufzeituntergrenze für Rechenprobleme, die hauptsächlich auf der Exponentialzeithypothese basierten. Hier sind einige Ergebnisse für Probleme, die ich für ganz natürlich halte (alle folgenden Ergebnisse hängen von der ETH ab):

• Aaronson, Impagliazzo und Moshkovitz [1] zeigen eine quasi-polynomielle Zeituntergrenze für Engpass-Zufriedenheitsprobleme (CSPs). Beachten Sie, dass die Art und Weise, wie CSP in diesem Dokument definiert wird, es ermöglicht, dass die Domäne polynomial groß ist, da bekannt ist, dass die Domäne einen PTAS hat.

• Braverman, Ko und Weinstein [2] erweisen sich als Quasi-Polynom Zeit für die Suche nach untere Grenze -best -approximate Nash - Gleichgewicht, das entspricht Lipton et al. Algorithmus [3].$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman, Ko, Rubinstein und Weinstein [4] zeigen eine quasi-polynomiale Zeituntergrenze für die Näherung des dichtesten Subgraphen mit vollständiger Vollständigkeit (dh wenn ein Graph mit einer Klasse vorliegt, wird ein Subgraphen der Größe , der dicht für eine kleine Konstante ). Auch für dieses Problem gibt es einen quasi-polynomialen Zeitalgorithmus (Feige und Seltser [5]).k k ( 1 - ϵ ) $k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

Verweise

1. AM mit mehreren Merlins. In Computational Complexity (CCC), 29. IEEE-Konferenz 2014, S. 44–55, Juni 2014.

2. Mark Braverman, Young Kun Ko und Omri Weinstein. Die Annäherung des besten Nash-Gleichgewichts in der -Zeit unterbricht die Exponentialzeithypothese. In Proceedings of the Twenty-Sixth Annual ACM-SIAM-Symposium über diskrete Algorithmen, SODA '15, S. 970–982. SIAM, 2015.$n^{o(log n)}$

3. Richard J. Lipton, Evangelos Markakis und Aranyak Mehta. Große Spiele mit einfachen Strategien spielen. In Proceedings of the 4th ACM Conference onElectronic Commerce, EC '03, S. 36–41, New York, NY, USA, 2003. ACM.

4. Mark Braverman, Young Kun-Ko, Aviad Rubinstein und Omri Weinstein. ETH Härte für Densest- -Subgraph mit perfekter Vollständigkeit. Elektronisches Kolloquium zur Computational Complexity (ECCC), 22:74, 2015.$k$

5. U. Feige und M. Seltser. Bei den dichtesten Teilgraphenproblemen. Technischer Bericht, 1997.$k$

Megiddo und Vishkin haben bewiesen, dass das in Turnieren dominierende Minimum in . Sie zeigten, dass die Turnierdominante einen P-Zeit-Algorithmus hat, wenn SAT einen subexponentiellen Zeit-Algorithmus hat. Daher kann das turnierdominierende Mengenproblem nicht in sei denn, die ETH ist falsch.$QP$$P$

Es ist sehr interessant festzustellen, dass die exponentielle Zeithypothese gleichzeitig impliziert, dass die Turnier-dominierende Menge keine polynomiellen Zeitalgorithmen haben kann und nicht vollständig sein kann$NP$ . Mit anderen Worten, die ETH impliziert, dass die Turnierdominante im .$NP$

Woeginger schlägt ein Kandidatenproblem vor, das in quasi-polynomialer Zeit lösbar ist und wahrscheinlich keine polynomialen Zeitalgorithmen hat: Können Sie bei Ganzzahlen davon auswählen , die sich zu addieren ?log n $n$$\log n$$0$

Es ist unwahrscheinlich, dass die Berechnung der VC-Dimension in Polynomialzeit erfolgt, es gibt jedoch einen quasipolynomialen Zeitalgorithmus.

Es scheint auch schwierig zu sein, eine gepflanzte Clique der Größe in einem zufälligen Graphen zu erkennen, aber man kann sie in quasipolynomialer Zeit finden; obwohl die Natur dieses Versprechensproblems etwas anders ist als die anderen erwähnten.$O(\log n)$

Wenn die Exponentialzeithypothese korrekt ist (oder sogar schwächere Versionen), kann man 3SAT nicht für Instanzen mit einer polygloggen Anzahl von Variablen in der Polynomzeit lösen. Natürlich kann die Quasi-Polynom-Zeit solche Fälle leicht lösen.

Während wir wissen, dass es Probleme in der Zeitklasse die nicht in , ist dies für jedes kein nützliches natürliches Problem (dies ist ein Standardergebnis in der Komplexität) ). In jedem Fall wäre es ein großes Ergebnis, ein Problem zu finden, das in QP, aber nicht in P liegt. Derzeit sind uns noch keine natürlichen Probleme in NP bekannt, die mehr als beispielsweise die quadratische Zeit im allgemeinen RAM-Modell erfordern. Weil Untergrenzen wirklich sehr, sehr schwer sind. So kann der Rückgriff auf die ETH, einzigartiges Spiel vermuten, beten und beweisen, dass Probleme NP-vollständig sind.T ( n ) T ( n $T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

Das Lösen von Paritätsspielen wurde kürzlich in QP gezeigt: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

$\mu$

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

Die jüngste Veröffentlichung oben hat jedoch einen deutlichen Sprung zu QP gemacht. Es ist noch nicht bekannt, ob diese Spiele in P sind.

In klassischen Algorithmen, Korrelationszerfall und komplexen Nullstellen von Partitionsfunktionen von Quantenvielkörpersystemen von Aram Harrow, Saeed Mehraban und Mehdi Soleimanifar

Ein quasi-polynomialer, zeitklassischer Algorithmus, der die Verteilungsfunktion von Quanten-Vielkörpersystemen bei Temperaturen oberhalb des thermischen Phasenübergangspunkts abschätzt

wird vorgestellt.

Über den Teil der Frage "aber nicht in polynomialer Zeit" kann hier nicht viel gesagt werden. Es ist sogar wahrscheinlich, dass ein polynomieller Zeitalgorithmus später gefunden wird, wenn man die Vorgeschichte früherer Arbeiten berücksichtigt (siehe unten).

Wie hängt "Schätzen der Partitionsfunktion" mit Approximationsalgorithmen zusammen? Frühere Arbeiten (S. 11):

Es gibt in letzter Zeit einen konzeptionell anderen Ansatz zur Schätzung der Partitionsfunktion, der die Grundlage dieser Arbeit bildet. Dieser Ansatz betrachtet die Partitionsfunktion als ein hochdimensionales Polynom und verwendet die abgeschnittene Taylor-Erweiterung, um die Lösung an einem rechnerisch einfachen Punkt auf ein nicht triviales Regime von Parametern zu erweitern. Seit seiner Einführung [Bar16a] wurde diese Methode verwendet, um deterministische Algorithmen für verschiedene interessante Probleme wie die ferromagnetischen und antiferromagnetischen Ising-Modelle [LSS19b, PR18] an begrenzten Graphen zu erhalten.

beinhaltet

[LSS19b] Jingcheng Liu, Alistair Sinclair und Piyush Srivastava. Die Ising-Partitionsfunktion: Nullen und deterministische Approximation. Journal of Statistical Physics, 174 (2): 287–315, 2019. arXiv: 1704.06493

in diesem Abschnitt wird Folgendes zu verwandten Arbeiten erwähnt:

Parallel dazu initiierte Barvinok die Untersuchung der Taylor-Approximation des Logarithmus der Partitionsfunktion, die zu quasipolynomialen Zeitnäherungsalgorithmen für eine Vielzahl von Zählproblemen führte [6, 7, 9, 10]. In jüngerer Zeit haben Patel und Regts [41] gezeigt, dass man mit diesem Ansatz für mehrere Modelle, die als induzierte Teilgraphensummen geschrieben werden können, tatsächlich ein FPTAS erhalten kann.

[41] V. Patel und G. Regts. Deterministische Polynomzeit-Approximationsalgorithmen für Partitionsfunktionen und Graphpolynome. SIAM J. Comput., 46 (6): 1893-1919, Dez. 2017. arXiv: 1607.01167

Zusammenfassend ist "Schätzen der Partitionsfunktion" eng mit Näherungsalgorithmen verwandt, und es wurden quasipolynomiale Zeitnäherungsalgorithmen für eine Vielzahl von Zählproblemen und für einige dieser FPTAS erhalten. Insgesamt scheint diese Klasse von Problemen, die sich auf die Partitionsfunktion beziehen, quasipolynomielle Zeitnäherungsalgorithmen zu erzeugen, aber häufig erzielen spätere Verbesserungen eine polynomielle Zeit.