Sind optimale Bewerter tatsächlich optimal?

Der folgende Begriff (unter Verwendung von Bruijn-Indizes):

BADTERM = λ((0 λλλλ((((3 λλ(((0 3) 4) (1 λλ0))) λλ(((0 4) 3) (1 0))) λ1) λλ1)) λλλ(2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 0)))))))))

Wenn es auf eine Kirchennummer angewendet wird, wird es Nin mehreren vorhandenen Bewertern, einschließlich naiver, schnell in normaler Form bewertet . Wenn Sie diesen Begriff jedoch in Interaktionsnetze codieren und ihn mit dem abstrakten Algorithmus von Lamping auswerten, ist eine exponentielle Anzahl von Beta-Reduktionen in Bezug auf erforderlich N. Auf Optlam, speziell:

N   interactions(betas)     (BADTERM N)
1   129(72)                 λλλ(1 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
2   437(205)                λλλ(2 (1 (2 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
3   976(510)                λλλ(1 (1 (2 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
4   1836(1080)              λλλ(2 (2 (1 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
5   3448(2241)              λλλ(1 (2 (1 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
6   6355(4537)              λλλ(2 (1 (1 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
7   11888(9181)             λλλ(1 (1 (1 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
8   22590(18388)            λλλ(2 (2 (2 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
9   43833(36830)            λλλ(1 (2 (2 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
10  85799(73666)            λλλ(2 (1 (2 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
11  169287(147420)          λλλ(1 (1 (2 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
12  335692(294885)          λλλ(2 (2 (1 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
13  668091(589821)          λλλ(1 (2 (1 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
14  1332241(1179619)        λλλ(2 (1 (1 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
15  2659977(2359329)        λλλ(1 (1 (1 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))

Bei ähnlichen Evaluatoren wie BOHM sind viel weniger Beta-Schritte erforderlich, aber mehr Interaktionen. Wenn optimale Bewerter optimal sind, wie können sie Begriffe asymptotisch langsamer bewerten als vorhandene Bewerter?

Dieser Link enthält eine Erklärung zur Herkunft des Begriffs sowie eine Implementierung derselben Funktion, die sich fast bizarr verhält: Sie sollte in exponentieller Zeit ausgeführt werden - in den meisten Evaluatoren in exponentieller Zeit - und dennoch optimal Evaluatoren normalisieren es in linearer Zeit!

cc.complexity-theory lambda-calculus interaction-nets

— MaiaVictor
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Effizienz von Optlam

Ich habe weder die Details von BADTERM noch die Implementierung des Optlam-Evaluators untersucht, aber ich finde es ziemlich seltsam, dass Optlam eine Reihe von ß-Wechselwirkungen durchführt, die sich drastisch von denen eines anderen optimalen Evaluators wie BOHM unterscheiden. Eine solche Zahl muss per Definition für einen bestimmten Begriff grundsätzlich gleich sein. Sind Sie sicher, dass der Kern von optlam korrekt ist?

Effizienz optimaler Bewerter

Es sei daran erinnert, dass der Begriff der Optimalität dieser Bewerter besser als Lévy-Optimalität bekannt ist und nicht der naive, da eine Strategie zur Reduzierung der Mindestanzahl von ß-Schritten nicht berechenbar ist. Was dann minimiert wird, ist die Anzahl paralleler ß-Reduktionsschritte, die an einer ganzen Familie von Redex durchgeführt werden, dh ungefähr die Menge, die durch das symmetrische und transitive Schließen der Beziehung erhalten wird, die zwei Redexe bindet, wenn eine von der anderen kopiert wird. Es sollte im Allgemeinen nicht überraschen, Diskrepanzen zwischen der Anzahl der ß-Schritte und dem Rest der Duplizierungsschritte zu sehen, da wir wissen, dass der größte Teil der Normalisierungslast von der ersteren auf die letztere übertragen werden könnte, wie von Asperti, Coppola und Martini [1].

Es sollte uns auch nicht überraschen zu sehen, dass die Gesamtzahl der Interaktionen, die zur Normalisierung eines Terms mit einem optimalen Bewerter erforderlich sind, geringer ist als bei einem normalen, da frühere empirische Beobachtungen bereits bemerkenswerte Leistungsverbesserungen zeigten. Trotzdem ist ein derart großer Komplexitätssprung von der exponentiellen zur linearen Zeit vielleicht der allererste seiner Art, der entdeckt wird. (Ich werde das überprüfen.)

Andererseits sind die theoretischen Ergebnisse zur Effizienz der optimalen Reduktion (was Ihre große Frage ist) immer noch wenige und noch nicht allgemein, da sie auf EAL-typisierte Proof-Netze beschränkt sind (was im Grunde die gleiche Einschränkung des Optmals darstellt) Evaluator, wenn ich das richtig verstehe), aber alle sind leicht positiv, da im schlimmsten Fall die Komplexität der Sharing-Reduktion durch einen konstanten Faktor durch den gewöhnlichen begrenzt wird [2,3].

Verweise

A. Asperti, P. Coppola und S. Martini, (Optimal) Duplizierung ist nicht elementar rekursiv , Information and Computation, vol. 193, 2004.
P. Baillot, P. Coppola und U. Dal Lago, Lichtlogik und optimale Reduktion: Vollständigkeit und Komplexität , Information und Berechnung, vol. 209, nein. 2, S. 118–142, 2011.
S. Guerrini, T. Leventis und M. Solieri, Tief in die Optimalität - Komplexität und Korrektheit der gemeinsamen Nutzung der Implementierung begrenzter Logik , DICE 2012, Tallin, Estland, 2012.

— Marco Solieri
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Such a number must be, by definition, basically the same on a given termalso dachte ich. Das hat mich überrascht, da Optlam in vielen Fällen, die ich getestet habe, die gleiche Anzahl von Betas wie BOHM liefert. In einigen Fällen gibt es jedoch aufgrund seiner Call-by-Need-Strategie weniger. Jemand sagte mir, dass Reduktion ohne das Orakel nicht optimal ist und ich es jetzt nicht mehr weiß. Alles in allem bin ich zutiefst verwirrt. Aber nein, es gibt definitiv keinen Beweis dafür, dass Optlam überhaupt richtig funktioniert. Ich denke über den Rest Ihres Kommentars nach - danke.

— MaiaVictor

Außerdem habe ich tatsächlich viele verschiedene Begriffe gefunden, die sich genau wie Badterm verhalten. Ich studiere das Problem weiter, damit ich einfachere Begriffe finden kann, die es replizieren.

— MaiaVictor

Eine Art parallele Call-by-Need-Strategie ist Standard für optimale Evaluatoren, einschließlich BOHM, da sie für die Lévy-Optimalität selbst erforderlich ist. Das Orakel ist nicht unbedingt erforderlich, um λ-Terme optimal zu reduzieren: Geschichtete Terme, wie z. B. EAL-Terme, benötigen sie nicht.

— Marco Solieri

Oh, mein schlechtes dann. Wie auch immer, nur um sicherzugehen, dass ich es verstehe, wenn Sie Duplikate berücksichtigen (nicht nur Betas), kann es Begriffe geben, die asymptotisch langsamer sind, um optimale Bewerter zu reduzieren, selbst im Fall von EAL? In diesem Fall würde ich mich fragen, warum es sinnvoll ist, nur Beta-Schritte zu zählen und ob die Verwendung von Interaktionsnetzen zum Zweck der λ-Kalkül-Reduktion wirklich von Vorteil ist ...

— MaiaVictor

Aha! Es gibt also nicht EAL-typisierbare Begriffe, die ohne das Orakel reduziert werden können? Ich nahm an, wenn Optlam es reduzierte, war es EAL-typisierbar (da ich keinen EAL-Typ-Inferencer habe). Wenn das nicht der Fall ist, macht jetzt alles Sinn. Da die Teilmenge der EAL-typisierbaren Begriffe genug Leistung hat, um jeden Poly-Time-Algorithmus wie das Sortieren auszudrücken, ist es meiner Meinung nach ratsam, gezielt zu versuchen, EAL-typisierbare Begriffe zu entwerfen. Ich frage mich allerdings, wie das in der Praxis gemacht werden könnte. Ich danke dir sehr.

— MaiaVictor