Beweisen Sie, dass Schaltkreisobergrenzen für implizieren

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In der offiziellen Clay-Problembeschreibung für P versus NP heißt es, dass aus dem folgt, dass "jede Sprache in [die in exponentieller Zeit mit einer deterministischen Turing-Maschine erkennbare Klasse von Sprachen] von einer Booleschen Schaltkreisfamilie berechnet werden kann , so dass für mindestens eine , weniger Gatter als die maximal benötigte hat jede Boolesche Funktion zu berechnen “ . Der einzige Hinweis ist jedoch, dass dies "eine faszinierende Beobachtung von V. Kabanets ist". Könnte mich bitte jemand auf eine veröffentlichte Version dieser Implikation mit dem Beweis hinweisen? $P \neq NP$ $E$ $<B_n>$ $n$ $B_n$ $f: \{0,1\}^n \longrightarrow \{0,1\}$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— David
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Ich glaube nicht, dass das Papier in der anderen Antwort eine Antwort auf Ihre Frage enthält. In der Tat bin ich mir nicht sicher, ob ein Beweis veröffentlicht wurde, da das Ergebnis aus anderen bekannten Ergebnissen hervorgeht.

Der Beweis für die gewünschte Aussage lautet wie folgt:

$\Sigma_3 E$ enthält eine Funktion mit maximal möglicher Schaltungskomplexität für jede Eingangslänge, indem einfach eine Funktion definiert wird, die sich (alternierend) von allen Funktionen mit nicht maximaler Schaltungskomplexität unterscheidet. Dies ist Standard und der Beweis kann in Quellen wie Aroras und Baraks Lehrbuch gefunden werden.
Wenn dann , durch Klotzen und der Zusammenbruch der Polynomzeit Hierarchie . $P = NP$ $\Sigma_3 E = E$ $P$
Wenn also dann gibt es in eine Sprache mit maximaler Schaltungskomplexität. Dies ist das Gegenteil von dem, was Sie beweisen möchten. $P = NP$ $E$

— Ryan Williams
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Schön, ich dachte du wärst der erste, der darauf antwortet.

— Mohammad Al-Turkistany

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Es gibt auch eine Antwort in der Arbeit von Kabanets und Cai. In Satz 10 beweisen sie, dass, wenn in , eine Familie von Booleschen Funktionen mit maximaler Schaltungskomplexität enthält. Wenn , dann ist und , also enthält nach dem Theorem tatsächlich eine Sprache mit maximaler Komplexität.

M C S P

$MCSP$

P

$P$

E^{N P}

$E^{NP}$

P = N P

$P=NP$

M C S P \in P

$MCSP\in P$

E^{N P} = E

$E^{NP}=E$

E

$E$

— Andras Farago

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Guter Punkt, Andras! Einer der Quantifizierer im Teil kann als Lösung von MCSP angesehen werden.

Σ_{3} E

$\Sigma_3 E$

— Ryan Williams

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Beim googeln bin ich auf dieses Papier gestoßen, das mit der unten stehenden Referenz veröffentlicht wurde.

Schaltungsminimierungsproblem

Valentine Kabanets und Jin-Yi Cai

Wir untersuchen die Komplexität des Schaltungsminimierungsproblems: Entscheiden Sie anhand der Wahrheitstabelle einer Booleschen Funktion f und eines Parameters s, ob f durch eine Boolesche Schaltung mit einer Größe von höchstens s realisiert werden kann. Wir argumentieren, warum es unwahrscheinlich ist, dass dieses Problem in P (oder sogar in P / poly) auftritt, indem wir eine Reihe überraschender Konsequenzen einer solchen Annahme angeben. Wir argumentieren auch, dass der Nachweis, dass dieses Problem NP-vollständig ist (wenn es tatsächlich zutrifft), den Nachweis starker Schaltungsuntergrenzen für die Klasse E implizieren würde, was über die derzeit bekannten Techniken hinausgeht.

Dies schien unten veröffentlicht zu werden.

erweiterte Zusammenfassung in den Proceedings des zweiunddreißigsten jährlichen ACM-Symposiums zur Theorie des Rechnens (STOC'00), Seiten 73-79, 2000. Technischer Bericht, im Electronic Colloquium on Computational Complexity TR99-045, 1999. http: // www. cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html
Extended Abstract in Proceedings des zweiunddreißigsten jährlichen ACM-Symposiums zur Theorie des Rechnens (STOC'00), Seiten 73-79, 2000. http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

— Joshua Herman
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Beachten Sie, dass diese Antwort die obige Frage nicht beantwortet, aber den Verweis enthält, aus dem diese Frage stammt.

— Joshua Herman