Für randomisierte Algorithmen die reelle Werte annehmen, ist der "Median-Trick" eine einfache Methode, um die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls auf einen Schwellenwert zu reduzieren , und zwar nur auf Kosten eines multiplikativen Gemeinkosten. Wenn nämlich die Ausgabe von mit einer Wahrscheinlichkeit von (mindestens) in einen "guten Bereich" fällt, werden unabhängige Kopien und unter Berücksichtigung des Medians ihrer Ausgaben ergibt sich ein Wert, der mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens nach Chernoff / Hoeffding-Schranken in fällt . δ > 0 t = O ( log 1AI=[a,b]2/3A1,...,Ateinen1,...,atI1-δ
Gibt es eine Verallgemeinerung dieses "Tricks" zu höheren Dimensionen, sagen wir , wo der gute Bereich jetzt eine konvexe Menge (oder eine Kugel oder eine ausreichend schöne und strukturierte Menge) ist? Das heißt, ein randomisierter Algorithmus Werte in und eine "gute Menge" so dass für alle , wie kann man die Erfolgswahrscheinlichkeit mit nur logarithmischen Kosten in auf erhöhen ?A R d S⊆ R d P r { A (x,r)∈S}≥2 / 3x1-δ1 / δ
(Anders ausgedrückt: Bei gegebenem festen, willkürlichen mit der Garantie, dass mindestens der zu gehören , gibt es eine Prozedur einen Wert ausgeben von ? Wenn ja, gibt es einen effizienten?)2 t aiSS
Und was ist der minimale Satz von Annahmen, den man für braucht, um das oben Genannte zu erreichen?
Entschuldigung, wenn sich herausstellt, dass dies trivial ist - ich konnte zu dieser Frage keine Referenz finden ...