Kommunikationskomplexitätsprobleme mit linearer Entfernung

Gibt es bekannte (nicht triviale) untere Grenzen der zufälligen Kommunikationskomplexität für natürliche Lückenprobleme, bei denen die 1-Eingänge linear weit von den 0-Eingängen entfernt sind? Das heißt, Teilfunktionen so dass der Hamming-Abstand zwischen jedem und ist linear - und dass zufällige Protokolle erfordert, um (sagen wir) Bits zu kommunizieren ? $f:\{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$ $(x,y) \in f^{-1}(1)$ $(x',y') \in f^{-1}(0)$ $f$ $\Omega(\sqrt{n})$

(Zum Beispiel hat das Gap-Hamming-Distance-Problem einen Abstand von , während ich nach einem Abstand von suche ; wobei wenn und wenn .) $2\sqrt{n}$ $\Omega(n)$ $GHD(x,y) = 1$ $HD(x,y) \ge n/2 + \sqrt{n}$ $GHD(x,y) = 1$ $HD(x,y) \le n/2 - \sqrt{n}$

Bearbeiten : Wie von Igor hervorgehoben, kann jedes Prädikat für die Kommunikationskomplexität zu einem Problem mit linearer Entfernung gemacht werden, indem die Eingaben von einem guten Code codiert werden müssen. Was mich jedoch interessiert, ist, ob es in der Literatur Probleme gibt, bei denen der lineare Abstand auf natürliche Weise auftritt (wie der Abstand im Gap-Hamming-Abstandsproblem).

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— Anonym
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Würde so etwas wie das Boolean Hidden Matching Problem in die Rechnung passen? Es erfordert Kommunikationsbits (einseitig, zufällig), und es sieht so aus, als ob es einen linearen Abstand zwischen den Instanzen - und hat.

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

yes

$\textsf{yes}$

no

$\textsf{no}$

— Clement C.

(oder fast linear, denke ich, da die Eingabe die passende Matrix )

M

$M$

— Clement C.

Danke Clement! Das ist genau die Art von Problemen, nach denen ich gesucht habe!

— Anonym

Ein weiteres Problem - wenn auch im SMP / Schiedsrichter-Modell - ist im Grunde Gap-Hamming-Distance mit linearer Lücke in (obwohl die Eingaben die Größe anstelle von ). Siehe Bavarian, Gavinsky und Ito '15 , genauer Definition 1.9 und Satz 1.8 (zusammen mit Fakt 1.4): Die Kommunikationskomplexität von im SMP-Modell mit privater Zufälligkeit ist .

n

$n$

x, y

$x,y$

n \log n

$n\log n$

n

$n$

{G a p I P}_{n}

$\mathsf{GapIP}_n$

\tilde{Ω} (\sqrt{n})

$\tilde{\Omega}(\sqrt{n})$

— Clement C.

Antworten:

Sei ein Fehlerkorrekturcode mit linearem Abstand. Sei eine Funktion, deren zufällige Kommunikationskomplexität groß ist (z. B. oder . $C:\{0,1\}^{n} \to \{0,1\}^{2n}$ $g: \{0,1\}^{n} \times \{0,1\}^{n} \to \{0,1\}$ $\Omega(\sqrt{n})$ $\Omega(n))$

Definiere $f: \{0,1\}^{2n} \times \{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$ als Teilfunktion, die bei Codewörtern von ausgibt , und es wird ausgegeben, wenn mindestens eines von nicht in . $C$ $f(x,y) = g(C^{-1}(x),C^{-1}(y))$ $*$ $x,y$ $C$

Es ist klar, dass die Kommunikationskomplexität von gleich der Kommunikationskomplexität von ist und die Eigenschaft erfüllt, dass für jeweils zwei verschiedene Eingänge, an denen 0 oder 1 ausgibt, der Abstand zwischen ihnen linear ist. $f$ $g$ $f$ $f$

— Igor Shinkar
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Danke Igor. Während das von Ihnen beschriebene Problem natürlich einen linearen Abstand aufweist, suche ich nach Problemen, bei denen die Lücke auf natürliche Weise (in GHD) und nicht künstlich (durch Codierung der Eingaben) auftritt. Gibt es solche Probleme in der Literatur?

— Anonym

Wie oben in einem Kommentar erwähnt, scheint das in [BJK04, KR06] eingeführte und untersuchte Boolean Hidden Matching Problem (fast) Ihrer Anforderung zu entsprechen. Die Eingabegröße beträgt ungefähr (da eine Eingabe die Form , Dabei ist eine sehr spärliche Matrix, mit der codiert werden kann $n\log n$ $(x,M,w)\in\{0,1\}^{2n}\times\{0,1\}^{n\times 2n}\times \{0,1\}^{2n}$ $M$ Bits); und - und Instanzen des Versprechensproblems haben Abstand , $n\log n$ $\textsf{yes}$ $\textsf{no}$ $\Theta(n)$

Die einseitige randomisierte Kommunikationskomplexität von ist $\textsf{BHM}_n$ , wie in [KR06] gezeigt. $\Omega(\sqrt{n})$

[BJK04] Ziv Bar-Yossef, TS Jayram, Iordanis Kerenidis. Exponentielle Trennung von Quanten- und klassischer Einwegkommunikationskomplexität, Proceedings of ACM STOC 2004
[KR06] Iordanis Kerenidis, Ran Raz. Die Einweg-Kommunikationskomplexität des Boolean Hidden Matching-Problems. Elektronisches Kolloquium über Computerkomplexität (ECCC) 13 (087) (2006)

— Clement C.
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