Bestimmen, was durch eine Permutation von Elementen einer nichtkommutativen Gruppe erreicht werden kann

Fix eine endliche Gruppe . Ich interessiere mich für das folgende Entscheidungsproblem: Die Eingabe besteht aus einigen Elementen von G mit einer Teilreihenfolge, und die Frage ist, ob es eine Permutation der Elemente gibt, die die Reihenfolge erfüllt und so ist, dass die Zusammensetzung der Elemente darin besteht Ordnung ergibt das neutrale Element der Gruppe e .$G$$G$$e$

Formal ist das Test-Problem$G$ wie folgt, wobei die Gruppe festgelegt ist:$G$

• Input: ein endlicher Poset mit einer Markierungsfunktion μ aus P bis G .$(P, <)$$\mu$$P$$G$
• Ausgabe: ob es eine lineare Erweiterung von (dh eine Gesamtordnung ( P , < ′ ), so dass für alle x , y ∈ P , x < y x < ′ y impliziert ), so dass die Elemente von P geschrieben werden nach dem Gesamtauftrag < ' als x 1 , ... , x n , haben wir μ ( x 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ μ $P$$(P, <')$$x, y \in P$$x < y$$x <' y$$P$$<'$$x_1, \ldots, x_n$ .$\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

Für jede Gruppe liegt das G- Test-Problem eindeutig in NP. Meine Frage ist: Gibt es eine Gruppe G , bei der das G- Test-Problem NP-schwer ist?$G$$G$$G$$G$

Einige Anmerkungen zu gleichwertigen Problemstellungen:

• Die Sprache von Posets und linearen Erweiterungen kann äquivalent durch die von DAGs und topologischen Ordnungen ersetzt werden. Das heißt, wenn Sie es vorziehen, können Sie sich die Eingabe als DAG mit mit Gruppenelementen gekennzeichneten Eckpunkten und als Ausgabe als Frage vorstellen, ob eine topologische Art der Eingabe-DAG erreicht .$e$
• Man könnte stattdessen ein schwierigeres Problem in Betracht ziehen, bei dem wir einen Poset und g ∈ G erhalten , und fragen, ob g (anstelle von e ) realisiert werden kann. In der Tat reduziert die stärkere Problem auf die oben: Wir können fragen , ob e durch realisiert werden kann ( P ' , < ) , wobei P ' ist P aber mit einem Element markiert g - 1 , die kleiner ist als alle anderen. Daher die natürliche Wahl von e in der obigen Definition.$(P, <)$$g \in G$$g$$e$$e$$(P', <)$$P'$$P$$g^{-1}$$e$

Nun zu meinen Versuchen, das Problem zu lösen:

• Wenn die Gruppe kommutativ ist, liegt das G- Test-Problem natürlich eindeutig in PTIME, da alle linearen Erweiterungen dasselbe Gruppenelement erreichen. Wir können also einfach eine davon nach topologischer Sortierung auswählen und prüfen, ob es e ist oder nicht. So ist der interessante Fall ist nichtkommutative G . Wenn G einen Homomorphismus zu einer nicht trivialen kommutativen Gruppe (z. B. der Signatur für Permutationen) aufweist, besteht eine notwendige, aber nicht ausreichende Bedingung darin, das Problem durch den Homomorphismus zu betrachten und es in PTIME im kommutativen Bild zu überprüfen . Ich sehe nicht ein, ob dies zu einem Zerlegungsschema für alle endlichen Gruppen führen kann.$G$$G$$e$$G$$G$
• Wenn die Ordnungsbeziehung leer ist (dh wir erhalten eine Mehrfachmenge von Elementen in und können eine beliebige Permutation verwenden), kann das Problem durch dynamische Programmierung gelöst werden, wobei die Zustände die Anzahl der Vorkommen jedes Elements in G sind , die noch vorhanden sind nicht verwendet (denken Sie daran, dass G fest ist, sodass die Anzahl der Zustände in der Eingabe polynomisch ist).$G$$G$$G$
• Für Eingaben, die Posets mit konstanter Breite sind, können wir einen dynamischen Algorithmus verwenden, der einer Kettenzerlegung folgt. Wenn also die Härte gilt, müssen beliebig breite Eingangsposets verwendet werden. Beachten Sie, dass für eine breite posets die Anzahl der möglichen „Zustände“ in einem dynamischen Programmierung Ansatz die Zahl der wäre Verstimmungen des poset, die im allgemeinen exponentiell und nicht Polynom, so dass Ansatz Arbeit nicht direkt der Fall ist.
• Das gleiche Problem könnte eher für Monoide als für Gruppen untersucht werden, aber für Monoide weiß ich bereits, dass es schwierig ist, durch ein ziemlich kompliziertes Argument, das das Übergangsmonoid eines Automaten beinhaltet und sich auf eine Variante einer früheren CStheory-Frage reduziert . Der vollständige Beweis dafür ist in diesem Vorabdruck in den Anhängen D.1.3 und D.1.4 enthalten, obwohl die Terminologie sehr unterschiedlich ist. Wenn Testing PTIME ist, muss es daher die Invertierbarkeit von Gruppenelementen verwenden.$G$
• Wenn wir gefragt haben, ob alle linearen Erweiterungen realisieren (und nicht, ob einige dies tun ), dann kenne ich das Problem in PTIME (siehe Anhang D.2 desselben Preprint), obwohl ich auch weiß, dass dieses andere Problem coNP- ist. hart für Monoide statt für Gruppen (D.1.3 und D.1.4).$e$

Wenn der Test für einige G schwierig ist , ist die natürliche Frage natürlich, ob eine Dichotomie gilt und welches Kriterium zwischen handhabbarem G und nicht handhabbarem G unterscheiden würde . Tatsächlich kann diese Frage allgemeiner gestellt werden, wenn wir endliche Automaten anstelle von Gruppen verwenden. (Formal: Fixieren Sie ein endliches Alphabet Σ und einen endlichen deterministischen endlichen Automaten (DFA) A auf Σ und betrachten Sie das A- Test-Problem bei einem mit Elementen aus Σ gekennzeichneten Poset , um zu prüfen, ob eine lineare Erweiterung ein von akzeptiertes Wort bildet A. ) Natürlich habe ich keine Ahnung von diesen schwierigeren Fragen.$G$$G$$G$$G$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$

$G$$G$

Beweis

$f(x) = -x$$g_a(x) = x + a$

$G$$f$$g_a$

$G$$\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

$G$

$a_1, a_2, ..., a_n$

$P$$n+2$$f$$n$$g_{a_i}$$i = 1,..., n$

$g_p \circ g_q = g_{p+q}$$f \circ g_p \circ f = g_{-p}$$P$$g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$$I$$g_{a_i}$$f$$g_0$$P$$\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$I$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$G$

Mit meinem Co-Autor haben wir gerade einen Preprint veröffentlicht, der dieses Problem allgemeiner für reguläre Sprachen untersucht. Im Fall endlicher Gruppen behaupten wir, dass das Problem (in NL) nachvollziehbar ist, wenn die Teilordnung der Elemente aus einer Vereinigung von Ketten besteht: siehe Satz 6.2. Wir würden vermuten, dass das Problem für allgemeine DAGs auch in NL liegt, und es gibt einige Hoffnung, die Technik auf diese Einstellung auszudehnen, aber wir vermissen eine Zutat dafür, die mit dieser Frage zusammenhängt - für Details siehe den Vorabdruck, Abschnitt 6, Absatz "Einschränkungen" am Ende, zweite Einschränkung.