Ein Beispiel, bei dem der kleinste normale Lambda-Term nicht der schnellste ist

Die von -terms sei wie folgt definiert:$size$$\lambda$

• $size(x) = 1$ ,
• $size(λx.t) = size(t) + 1$ ,
• $size(t s) = size(t) + size(s) + 1$ .

Die Komplexität eines $\lambda$ -terms $t$ sei definiert als die Anzahl der parallelen Beta-Reduktionen von $t x$ auf seine normale Form (unter Verwendung eines optimalen Bewerters im Sinne von Levy).

Ich suche ein Beispiel für zwei normale $\lambda$ Terme für dieselbe Funktion, bei denen der größere Term eine geringere Komplexität aufweist.

...

Aus Gründen der Übersichtlichkeit bearbeiten

Da es nicht offensichtlich ist, was ich frage, werde ich versuchen, ein solides Beispiel zu geben. Es gibt oft die Überzeugung, dass die "naive" / "einfachste" Definition einer Funktion langsam und nicht optimal ist. Eine bessere Leistung erhöht die Komplexität des Begriffs, da Sie zusätzliche Datenstrukturen, Formeln usw. benötigen. Ein gutes Beispiel ist fibonacci, das "naiv" definiert werden kann als:

-- The fixed fibonacci definition
fib_rec fib n =
    if (is_zero x) 
        then 1 
        else fib (n - 1) + f (n - 2)

-- Using church numbers instead of the λ-combinator to get a normal form
fib n = n fib_rec 0 n 

Dies wird oft als die "einfachste" Definition von fib angesehen und ist sehr langsam (exponentiell). Wenn wir die Abhängigkeiten von fib(die üblichen Definitionen für das Hinzufügen von Kirchennummern, pred, is_zero) erweitern und normalisieren, erhalten wir diesen Begriff:

fib = (λa.(a(λbc.(c(λdef.f)(λde.d)(λde.(de))
      (λde.(b(λfg.(c(λhi.(i(hf)))(λh.g)(λh.h)))
      d(b(λfg.(c(λhi.(i(h(λjk.(k(jf))))))(λhi.g)
      (λh.h)(λh.h)))de)))))(λbc.c)a))

Verbesserungen wie Memoization-Tabellen würden diesen Begriff vergrößern. Dennoch gibt es einen anderen Begriff, der viel kleiner ist ...

fib = (λa.(a(λb.(b(λcde.(e(λfg.(cf(dfg)))c))))
      (λb.(b(λcd.(cd))(λcd.d)))(λbc.b)))

und ist seltsamerweise auch dem naiven, der hereinläuft, asymptotisch überlegen O(N). Von allen Definitionen, die mir bekannt sind, ist dies sowohl die schnellste als auch die einfachste . Der gleiche Effekt tritt beim Sortieren auf. "Naive" Definitionen wie Blasensortierung und Einfügungssortierung werden häufig zu großen Begriffen (mehr als 20 Zeilen lang) erweitert, aber es gibt eine kleine Definition:

-- sorts a church list (represented as the fold) of church numbers
sort = λabc.a(λdefg.f(d(λhij.j(λkl.k(λmn.mhi)l)(h(λkl.l)i))
       (λhi.i(λjk.bd(jhk))(bd(h(λjk.j(λlm.m)k)c))))e)(λde.e)
       (λde.d(λfg.g)e)c

Was auch asymptotisch schneller ist als jede andere Definition, die ich kenne. Diese Beobachtung lässt mich glauben, dass im Gegensatz zu allgemeiner Überzeugung der einfachste Begriff mit der geringsten Kolmogorov-Komplexität normalerweise der schnellere ist. Meine Frage ist im Grunde, ob es Beweise für das Gegenteil gibt, obwohl es mir schwer fallen würde, sie zu formalisieren.

Blums Beschleunigungssatz wird normalerweise in der Sprache teilweise rekursiver Funktionen angegeben, aber bis zu geringfügigen Unterschieden in der Notation funktioniert er in der Sprache von -calculus genauso.$\lambda$

Es heißt, dass wir bei jedem vernünftigen Komplexitätsmaß (zum Beispiel der optimalen Anzahl von Reduktionen wie in der Frage) und einer rekursiven Funktion (zum Beispiel ) ein rekursives Prädikat so dass:$M$$f(x,y)$$2^y$$P(x)$

Für jeden Algorithmus (dh -term in normaler Form hier) berechnet , gibt es einen anderen Algorithmus für , der eine Geschwindigkeit über : $\lambda$$g$$P$$h$$P$$f$$g$

$$f(x,M(h,x))\le M(g,x)\text{ for all large enough inputs }x,$$

wobei die Komplexität der Berechnung von am Eingang gemäß Maß .$M(g,x)$$g$$x$$M$

Folglich:

• $P$ hat in dem gegebenen Maß keinen asymptotisch optimalen Algorithmus

• Insbesondere ist der kürzeste Algorithmus für nicht asymptotisch optimal$P$

• Für jeden Algorithmus für gibt es einen asymptotisch schnelleren Algorithmus, dessen Normalform länger ist (da es bis zur Umbenennung von Variablen nur endlich viele normale Terme einer bestimmten Länge gibt).$P$