Konstante in Komlos-Vermutung

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$n$ $v_1,\dots,v_n\in\Bbb R^N$ $\|v_i\|_2^2\leq1$ $i\in\{1,\dots,n\}$ $c\in\Bbb R$ $n,N$ $\epsilon\in\{-1,+1\}^n$

‖ \sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} v_{i} ‖_{\infty} < c .

$\Big\|\sum_{i=1}^n\epsilon_iv_i\Big\|_\infty<c.$

c

$c$

Die beste Obergrenze ist $c=O(\sqrt{\log n})$ .

Gibt es eine Reihe von Beispielen für $c=1+\delta$ für jedes $\delta>0$ bei dem die Komlos-Vermutung fehlschlägt?

co.combinatorics extremal-combinatorics

— T ....
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Eine einfache Möglichkeit zu erkennen, dass

c

$c$ mindestens

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ besteht darin, die Vektoren

\frac{1}{2} (1, 1, 1, 1)

$\frac{1}{2}(1,1,1,1)$ ,

zu berücksichtigen

\frac{1}{2} (1, 1, - 1, - 1)

$\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)$ und

\frac{1}{2} (1, - 1, 1, - 1)

$\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)$ . Ich bin mir nicht sicher, ob dies eine Antwort rechtfertigt.

— Klaus Draeger

@KlausDraeger Ja, wenn Sie auch die Logik hinter dem Beispiel erkennen können. Ich kann sehen, wie Sie das konstruiert haben könnten.

— T ....

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Eine einfache Möglichkeit, eine Untergrenze besteht darin, Vektorpaare zu berücksichtigen . Zunächst ist es sinnvoll, sich auf Paare von Einheitsvektoren zu konzentrieren, für die alle -linearen Kombinationen so lang wie möglich sind (beachten Sie, dass dies nur ein interessanter Sonderfall ist, das sage ich nicht es ist in irgendeiner Weise opotimal). Dies wird erreicht, wenn orthogonal sind, und wenn wir die möglichen Rotationen überprüfen, stellen wir fest, dass zeigen, dass mindestens . $c\ge\sqrt{2}$ $u,v\in\mathbb{R}$ $\{-1,1\}$ $u,v$ $u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1), v=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ $c$ $\sqrt{2}$

Dieses Beispiel kann auf die verallgemeinert werden , wobei das -te Koeffizient von ist , wenn die Binärstelle in ist und sonst. $V_k=\{2^{-\frac{k}{2}}v_{i,k}\ |\ 0\le i\le k\}\subseteq\mathbb{R}^{2^k}$ $j$ $(v_{i,k})_j$ $v_{i,k}$ $1$ $i-th$ $j$ $0$ $-1$

Die Norm jeder -linearen Kombination der Vektoren in ist , die ihr Maximum bei mit der Menge der Vektoren $\infty$ $\{-1,1\}$ $V_k$ $(k+1)2^{-\frac{k}{2}}$ $\frac{3}{2}$ $k=2$

$V_2=\{\frac{1}{2}(1,1,1,1),\frac{1}{2}(1,1,-1,-1),\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)\}$ .

Es mag bessere Untergrenzen geben, aber dies ist ein Anfang.

— Klaus Draeger
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Es scheint mir, dass Ihr Beispiel bereits ziemlich gut ist. Könnte viel mehr als das sein?

c

$c$

— T ....

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Wenn man das als die Spalten dieser Matrix nimmt, zeigt sich (ich habe die Matrix durch Computerexperimente gefunden und verifiziert): $v_i$ $c \geq \frac{4}{\sqrt{6}} \approx 1.633$

M = \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{matrix})

$M = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

— Chris Jones
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-3

Es gibt keine beste Untergrenze, da c eine Obergrenze ist. Die bekannteste Obergrenze ist , wie Banaszczyk 1998 bewiesen hat . $O(\sqrt{\log n})$

— Yossi Lonke
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Es gibt keine beste Untergrenze - ich verstehe nicht, was Sie damit meinen. Ich interpretiere die Frage als "Was ist das größte für das die Vermutungsaussage als falsch bekannt ist?" das scheint gut definiert.

c

$c$

— Usul

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Turbo: Ok, Sie haben also Ihre Formulierung korrigiert, aber es fehlt immer noch die mathematische Genauigkeit, denn nach allem, was wir wissen, kann die Komlos-Vermutung falsch sein, so dass es möglicherweise keinen "kleinsten solchen Wert" für die c gibt, weil die Menge ist nicht unten begrenzt. Wenn Ihre Frage so etwas wie "Angenommen, die Komlos-Vermutung ist wahr, was ist das Infimum der c" ist? dann ist die derzeit bekannteste Antwort "Ich weiß nicht". usul: Das ist eine schöne Interpretation. Ich glaube nicht, dass sich jemand eingehend damit befasst hat. In einigen Ad-hoc-Experimenten, die ich durchgeführt habe, habe ich festgestellt, dass es Gegenbeispiele für c = 2 gibt.

— Yossi Lonke

@Turbo Warum löschst du nicht den ganzen Beitrag?

— Yossi Lonke