Anzahl der Automorphismen eines Graphen für den Graphisomorphismus

Sei und zwei regelmäßig verbundene Graphen der Größe . Let die Menge von Permutationen , so dass . Wenn , dann ist die Menge der automorphisms . $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

Was ist die bekannteste Obergrenze für die Größe von ? Gibt es Ergebnisse für bestimmte Diagrammklassen (die keine vollständigen / Zyklusdiagramme enthalten)? $A$

Hinweis: Die Konstruktion der Automorphismusgruppe ist (hinsichtlich ihrer Rechenkomplexität) mindestens so schwierig wie die Lösung des Graphisomorphismusproblems. Tatsächlich ist das bloße Zählen der Automorphismen eine Polynomzeit, die dem Graphisomorphismus entspricht, vgl. R. Mathon, "Ein Hinweis zum Zählproblem des Graphisomorphismus".

— Jim
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Wormald hat gezeigt, dass, wenn ein verbundener regulärer Graph mit 2n Eckpunkten ist, die Anzahl der Automorphismen von teilt . Dies ergibt insbesondere eine nicht triviale exponentielle Obergrenze für den regulären Fall. Vielleicht gibt es in dieser Zeile Ergebnisse für allgemeine reguläre Graphen. $G$ $3$ $G$ $3n\cdot 2^n$ $3$ $k$

Betrachten Sie für eine Untergrenze die Formel mit Eingängen, deren Gates Addition Gates von Fan-In 2 sind. Dann kann man mit einem Resut von Toran einen regulären Graphen mit konstruieren Eckpunkte, deren Automorphismusgruppe alle möglichen Bewertungen von codiert . Dies impliziert, dass die Anzahl der Automorphismen von mindestens beträgt . Dies zeigt, dass es eine exponentielle Untergrenze für die Anzahl der Automorphismen von regulären Graphen in Abhängigkeit von der Anzahl der Eckpunkte gibt. $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
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Bitte beachten Sie das folgende Diagramm: 1. Das reguläre Diagramm reguläre Diagramm (keines davon ist vollständig oder das Zyklusdiagramm) sind durch E Anzahl der Kanten miteinander verbunden. Angenommen, dieses verbundene Diagramm ist ein unregelmäßiges Diagramm 2. Jeder Scheitelpunkt von reguläre Graph hat Kanten mit dem regulären Graphen . Es gibt keine zwei Eckpunkte des regulären Graphen , die die gleiche Anzahl von Kanten wie der reguläre Graph . Kann der Automorphismus von G exponentiell sein?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— Jim

Ja. Der Graph G2 kann eine exponentielle Anzahl von Automorphismen aufweisen. Sei H1 ein beliebiger regulärer r1-Graph mit n Eckpunkten, nummeriert 1 ... n. Sei H2 ein Graph, der durch den folgenden Prozess erhalten wird (unterteilt in 3 Kommentare). Sei D der Diamantgraph, dh ein 4-Zyklus zusammen mit einer Kante, die zwei zuvor nicht benachbarte Eckpunkte verbindet. Angenommen, diese beiden Scheitelpunkte sind die internen Scheitelpunkte von D. Die anderen beiden Scheitelpunkte sind die externen Scheitelpunkte von D. Es gibt eindeutig einen Automorphismus, der beide internen Scheitelpunkte vertauscht und die externen Scheitelpunkte unberührt lässt.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Betrachten Sie nun die disjunkte Vereinigung zweier Zyklen C1 und C2 mit n (n + 1) / 2 Eckpunkten, die von 1 bis n (n + 1) / 2 nummeriert sind. Berücksichtigen Sie auch n (n + 1) / 2 Kopien des Diamod-Graphen. Verbinden Sie nun für jedes i einen der externen Eckpunkte von D_i mit dem i-ten Scheitelpunkt von C1 und den anderen externen Scheitelpunkt mit dem i-ten Scheitelpunkt von C2. Dann ist der durch diesen Prozess erhaltene Graph H2 3-regulär und weist eine exponentielle Anzahl von Autohpismen auf, da die internen Eckpunkte jedes D_i separat vertauscht werden können.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Nun addieren wir für jeden Scheitelpunkt v_j von H1 2j Kanten von v_j zu den inneren Scheitelpunkten von Diamanten, so dass beide inneren Scheitelpunkte eines Diamanten D_i mit demselben Scheitelpunkt in H1 verbunden werden. Dies garantiert, dass die internen Eckpunkte des Diamanten noch vertauscht werden können und daher die Gesamtzahl der Automorphismen im Graphen G2 exponentiell ist.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Es ist leicht zu zeigen, dass ein zusammenhängender Graph der Ordnung und der maximalen Wertigkeit höchstens eine Automorphismus-Ordnungsgruppe aufweist . Suchen Sie eine Reihenfolge der Scheitelpunkte so, dass jeder Scheitelpunkt, beginnend mit dem zweiten, an mindestens einen vorhergehenden Scheitelpunkt angrenzt. Sei die Untergruppe, die die ersten Eckpunkte . Dies ist eine absteigende Kette von Untergruppen mit und . Aus dem Orbit-Stabilisator-Theorem folgt, dass und für .

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— Verret

Wenn Sie zulassen, dass die Diagramme getrennt werden, gibt es keine guten Obergrenzen in Bezug auf die Anzahl der Scheitelpunkte.

Für reguläre Graphen nehmen Sie die disjunkte Vereinigung von vollständigen Graphen . Dann hat der Graph Eckpunkte undAutomorphismen. $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— Tori
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