Hat P / poly NP / poly interessante Implikationen?

P / P o l y = N P / p o l y N P ⊆ P / p o l $P/poly = NP/poly$ impliziert , was wiederum interessante Konsequenzen wie den Zusammenbruch der Polynomhierarchie hat.$NP \subseteq P/poly$

Gibt es interessante Implikationen für ?$P/poly \neq NP/poly$

Der Kommentar von Emil Jeřábek beantwortet die Frage:

P / poly NP / poly ist äquivalent zu NP P / poly= $=$$\subseteq$

Beachten Sie die Folgerung

P / poly NP / poly impliziert P NP.≠ $\neq$$\neq$

Beweis der Folgerung:

1. P / poly NP / poly ist äquivalent zu NP P / poly (Emil's Kommentar)= $=$$\subseteq$$\ $
2. NP P / poly impliziert P / poly NP / poly (impliziert durch 1.)⊆ $\subseteq$$=$$\ $
3. P / poly NP / poly impliziert NP P / poly (äquivalent zu 2.)≠$\neq$$\not\subseteq$$\ $
4. NP P / poly impliziert P NP (P P / poly)⊈ & ne; $\not\subseteq$$\neq$$\ $$\subseteq$
5. P / poly NP / poly impliziert P NP (impliziert durch 3. und 4.)≠ $\neq$$\neq$$\ $

Beweis von Emil's Kommentar: Es ist ausreichend zu zeigen, dass NP P / poly P / poly NP / poly impliziert .⊆ $\subseteq$$=$

1. Nehmen wir also NP P / poly an.$\subseteq$
2. Da SAT NP existiert, gibt es und eine Folge von mit , einem deterministischen Algorithmus, der dies kann Entscheide rechtzeitig über SAT-Instanzen der Größe , wenn sie Zugriff auf . WLOG, dieser Algorithmus kann auch SAT-Instanzen der Größe bestimmen, da wir mit eine modifizierte Sequenz definieren können. , wobei alle vorherigen in .∈ p S A T ≥ k S A T > 0 s n | s n | ≤ n k S A T n ≤ n p S A T s n ≤ n s ' n = s ' n - 1 s n | s ' n | ≤ n k S A T + 1 s $\in$$p_{SAT}\geq k_{SAT}>0$$s_n$$\left|s_n\right|\leq n^{k_{SAT}}$$n$$\leq n^{p_{SAT}}$$s_n$$\leq n$$s'_n=s'_{n-1}s_n$$\left|s'_n\right|\leq n^{k_{SAT}+1}$$s'_n$
3. Nun sei NP / poly eine beliebige Sprache, für die wir P / poly zeigen müssen. Es gibt und eine Folge von mit und einen nicht deterministischen Algorithmus, der Instanzen der Größe in der Zeit bestimmen kann , wenn es Zugriff auf .L ≤ L ≤ p L ≥ k L > 0 l n | l n | ≤ n k L L n ≤ n p L l $L\in$$L\in$$p_L\geq k_L>0$$l_n$$\left|l_n\right|\leq n^{k_L}$$L$$n$$\leq n^{p_L}$$l_n$
4. Für jedes mit kann eine SAT-Instanz der Größe berechnet werden (in der Zeit ), die genau dann erfüllt werden kann, wenn .w | w | = N ≤ c ⋅ n p L O ( n p L ) w ∈ $w$$|w|=n$$\leq c\cdot n^{p_L}$$O(n^{p_L})$$w\in L$
5. Also für die Folge von mit , Die Kombination der deterministischen Algorithmen aus 2. und 4. ergibt einen deterministischen Algorithmus, der Instanzen der Größe in der Zeit bestimmen kann , falls dies der Fall ist Zugriff auf .t n = l n s c ⋅ n p L | t n | ≤ n k L + ( c ⋅ n p L ) k S A T L n O ( ( c ⋅ n p L ) p S A T ) t $t_n=l_ns_{c\cdot n^{p_L}}$$|t_n|\leq n^{k_L}+(c\cdot n^{p_L})^{k_{SAT}}$$L$$n$$O((c\cdot n^{p_L})^{p_{SAT}})$$t_n$
6. Da NP / poly eine beliebige Sprache war, zeigt dies NP / poly P / poly unter der Annahme, dass NP P / poly.L ∈ ⊆ $L\in$$\subseteq$$\subseteq$

Alle oben genannten Beweise relativieren sich, weil die Existenz von NP-vollständigen Problemen auch in relativierten Welten zutrifft. Dies legt nahe, dass es sinnlos ist, nach einem Beweis für P / poly NP / poly zu suchen . Lassen Sie uns jedoch den entfernten Motivationsabschnitt zusammenfassen$\neq$von der Frage wie "Der Ratschlag könnte ein formales axiomatisches System sein (das automatisch ein konsistentes, böses Grinsen garantiert), dessen Stärke mit der Länge der Eingabe schnell zunimmt, und NP ist äußerst gut darin, diesen Ratschlag auszunutzen." Wenn man nicht sehr vorsichtig ist, dass "Existenz einer Folge von Ratschlägen" nur "formale" Bedeutung in Bezug auf ein festes formales System hat, ist es wahrscheinlich, dass dieser Aufbau die Konstruktion von scheinbaren Paradoxien ermöglicht. Aber die Konstruktion solcher Paradoxien könnte trotzdem Spaß machen und vielleicht sogar Wege aufzeigen, wie man Unabhängigkeitsnachweise konstruiert (für ausreichend schwache formale Systeme).