Zwei Varianten von NP

Hier sind zwei Variationen der Definition von NP. Sie definieren (mit ziemlicher Sicherheit) unterschiedliche Komplexitätsklassen, aber meine Frage ist: Gibt es natürliche Beispiele für Probleme, die in diese Klassen passen?

(Meine Schwelle für das, was hier als natürlich gilt, ist etwas niedriger als gewöhnlich.)

Klasse 1 (eine Superklasse von NP): Probleme mit Zeugen mit Polynomgröße, deren Überprüfung superpolynomielle, aber subexponentielle Zeit in Anspruch nimmt. Nehmen wir zur Verdeutlichung die Zeit . Dies entspricht der Klasse von Sprachen, die von nichtdeterministischen Maschinen erkannt werden, die Zeit aber nur poly (n) nichtdeterministische Vermutungen anstellen können. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Gibt es natürliche Probleme in Klasse 1, von denen weder in noch in bekannt ist / angenommen wird ? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

Klasse 1 ist wie üblich eine Klasse von Sprachen. Klasse 2 hingegen ist eine Klasse von Beziehungsproblemen:

Klasse 2: Eine binäre Beziehung R = {(x, y)} ist in dieser Klasse, wenn

Es gibt ein Polynom p, so dass (x, y) in R | y | impliziert ist höchstens p (| x |).
Es gibt einen Poly (| x |) -Zeitalgorithmus A, so dass für alle Eingaben x, wenn es ay gibt, so dass (x, y) in R ist, dann ist (x, A (x)) in R und Wenn es kein solches y gibt, lehnt A (x) ab.
Für jeden Poly (| x |) -Zeitalgorithmus B gibt es unendlich viele Paare (x, w), so dass sich B (x, w) von R (x, w) unterscheidet (hier verwende ich R, um seine eigene Charakteristik zu bezeichnen Funktion).

Mit anderen Worten, in allen Fällen ist ein Zeuge leicht zu finden, wenn es einen gibt. Und doch sind nicht alle Zeugen leicht überprüfbar.

(Beachten Sie, dass wenn R in Klasse 2 ist, die Projektion von R auf seinen ersten Faktor einfach in P ist. Dies ist, was ich damit gemeint habe, dass Klasse 2 eine Klasse von Beziehungsproblemen ist.)

Gibt es natürliche Beziehungsprobleme in Klasse 2?

— Joshua Grochow
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Ich bin mir der Frage nicht sicher. Möchten Sie Probleme, die offensichtlich in einer der Klassen liegen, aber nicht in der anderen?

— Lev Reyzin

Nein. Für jede Klasse frage ich mich separat, ob es natürliche Probleme gibt, die in die Klasse passen, von denen jedoch nicht bekannt ist, dass sie in andere Standardkomplexitätsklassen passen. Zum Beispiel würde ich gerne wissen, ob es in Klasse 1 ein natürliches Problem gibt, von dem nicht bekannt ist, dass es in NP liegt.

— Joshua Grochow

Ich denke, Sie möchten Bedingung 2 für Klasse 2 neu schreiben, da ansonsten A der triviale Algorithmus sein kann, der immer ablehnt. Ihre verbale Beschreibung unten erscheint sinnvoller.

— Andy Drucker

Für Klasse 2 ist ein etwas dummes Beispiel R (p, a) = {p ist ein ganzzahliges Polynom, a liegt im Bereich von p und | a | = O (poly (| p |)}. R ist in Klasse 2, aber unentscheidbar.

— Andy Drucker

Andy - warum nicht als Antwort statt als Kommentar posten?

— Joshua Grochow

Antworten:

Für Klasse 2 ist ein etwas dummes Beispiel

R (p, a) = {p ist ein ganzzahliges Polynom, a liegt im Bereich von p und | a | = O (poly (| p |)}.

R ist in Klasse 2, aber unentscheidbar.

— Andy Drucker
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Früher dachte ich, das wäre richtig, aber jetzt habe ich mich verwirrt. Sei r eine Poly-Bindung und sei p eine ganzzahlige Poly. Dann ist endlich, wobei | p | bezeichnet die Bitlänge der Beschreibung von p. Ich denke, das Problem ist entscheidbar, scheint aber immer noch schwierig zu sein, da die besten allgemeinen Grenzen für diese Menge (glaube ich) in | p | exponentiell sind.

{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

— Joshua Grochow

@ Joshua: Ich verstehe deinen Kommentar nicht ganz. Aber ich hätte klarstellen sollen, ich meinte als multivariates Polynom. Wenn Sie dann und fragen, ob gilt, fragen Sie, ob eine Lösung in ganzen Zahlen hat. Dies ist Hilberts 10. Problem, und das Problem ist unentscheidbar.

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

— Andy Drucker

Ah ja. So habe ich mich auch schon vorher überzeugt :). Vielen Dank.

— Joshua Grochow

Ich möchte Sie bitten, die Zeugenbedingung in Klasse 1 ein wenig zu klären. Es scheint, dass jedes angemessen begrenzte Problem von Co-NP den Trick zu tun scheint. Ist es das, was Sie beabsichtigt haben?

Nehmen Sie zum Beispiel die Klasse aller Diagramme, die keine Clique der Größe . Der Zeuge ist natürlich der Graph selbst, und es wird (glaube ich) nicht für möglich gehalten, diese Prüfung in der Polynomzeit durchzuführen. (Siehe zum Beispiel den parametrisierten Komplexitätsstatus des Problems und die Ergebnisse von Chen et al. Hier .) $\log n$

— Magnus Wahlström
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Wenn die Zeugenbedingung nicht eindeutig erscheint, nehmen Sie stattdessen meine Definition in Bezug auf nichtdeterministische Turing-Maschinen. Ihr Beispiel ist in der deterministischen Zeit , die tatsächlich in Klasse 1 enthalten ist und nicht in . Ich würde hoffen, in Klasse 1 ein natürliches Problem zu finden, von dem weder bekannt ist, dass es sich in noch bekannt ist, dass es sich in (ich werde die Frage entsprechend aktualisieren). Ich frage mich, ob eine Version eines anderen parametrisierten Problems den Trick machen könnte, aber ich bin mit der parametrisierten Komplexität nicht allzu vertraut.

n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$

— Joshua Grochow

Dies ist kein Beispiel für ein natürliches Problem, sondern eine Familie von Problemen in Klasse 1, aber wahrscheinlich nicht in NP oder QP = DTIME (n ^{polylog n} ). Vielleicht kann hier jemand die Funktion instanziieren und ein konkretes Problem lösen. $f$

Sei ein polynomialzeitberechnbares Prädikat mit m = Polylog n. $f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Das Problem liegt in Ihrer Klasse 1. $\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Es ist wahrscheinlich nicht in QP, weil es alle Probleme in NP ausdrücken kann, und es ist wahrscheinlich nicht in NP, weil es alle Probleme in Co-NTIME (Polylog) ausdrücken kann.

— Robin Kothari
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f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Ja, ich denke das würde funktionieren.

— Robin Kothari