Bei meiner Recherche bin ich auf folgendes Ergebnis gestoßen.
wobei und zufällig aus .
Ich suche eine Referenz / einen direkten Beweis.
Bei meiner Recherche bin ich auf folgendes Ergebnis gestoßen.
wobei und zufällig aus .
Ich suche eine Referenz / einen direkten Beweis.
Antworten:
Angenommen, .
Fixiere ein beliebiges . Wir betrachten mit . Das Ziel besteht darin , dass mit hohen Wahrscheinlichkeit zu zeigen , ist in dem Satz von Differenzen enthalten.
Betrachten Sie zunächst die Menge . Die Anzahl von mit so dass mit einer Erwartung um binomial ist . Mit einer hohen Wahrscheinlichkeit von wird die Anzahl solcher mindestens , was . Dann ist (Anspruch, „links als Übung“, nicht schwer , zu zeigen) , mit hohen Wahrscheinlichkeit als , wobei der Satz hat Größe mindestens . Schreiben wir für dieses "gute Ereignis", das .
Nehmen wir an, dass tatsächlich gilt, dh es gibt mindestens verschiedene Werte von kleiner als für . Man beachte, dass es für jeden solchen Wert einen Wert gibt, der genau größer ist. Betrachten Sie nun die Werte von für . Diese sind unabhängig und jeder hat eine Wahrscheinlichkeit von mindestens , sich in einem Abstand von einem Element der Menge . Die Wahrscheinlichkeit, dass sich kein Unterschied ergibt, beträgt dann höchstenswas auf 0 als da . Tatsächlich tendiert die Wahrscheinlichkeit, dass gilt, aber kein Unterschied der Größe existiert, zu 0 als .
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Menge der Differenzen enthalten ist, tendiert also (einheitlich in ) zu 1 als . Unter Verwendung der Linearität der Erwartung, Da beliebig ist, ist die Grenze wie gewünscht 1.