Bedeutet Baumbreite

Sei $k$ fest und sei $G$ ein (zusammenhängender) Graph. Wenn ich mich nicht irre, folgt aus der Arbeit von Bodlaender [1, Theorem 3.11], dass, wenn die Baumbreite von $G$ ungefähr mindestens beträgt $2k^3$, $G$ einen Stern $K_{1,k}$ als Moll enthält.

Können wir den Term kleiner machen? Das heißt, impliziert eine Baumbreite von mindestens k bereits die Existenz eines K 1 , k -minderjährigen? Gibt es irgendwo einen Beweis?$2k^3$$k$$K_{1,k}$

[1] Bodlaender, HL (1993). Bei linearer Zeit werden kleinere Tests mit Tiefensuche durchgeführt. Journal of Algorithms, 14 (1), 1-23.

Es ist in der Tat wahr, dass jeder Graph ohne K 1 , k - Moll höchstens eine Baumbreite von k - 1 hat . Wir beweisen hierzu nachfolgend zunächst einige Definitionen:$G$$K_{1,k}$$k-1$

Lassen sein , die von Baumweite G und ω ( G ) sein , die maximale Größe einer Clique in G . Ein Graph H ist eine Triangulation von G, wenn G ein Teilgraph von H ist und H akkordisch ist (dh keine induzierten Zyklen auf mindestens 4 Eckpunkten hat). Eine Triangulation H von G ist eine minimale Triangulation, wenn kein geeigneter Teilgraph von H auch eine Triangulation von G ist . Eine Teilmenge X von Eckpunkten von $tw(G)$$G$$\omega(G)$$G$$H$$G$$G$$H$$H$$4$$H$$G$$H$$G$$X$$G$ist eine potentielle maximale Clique, wenn es eine minimale Triangulation von G gibt, so dass X eine maximale Clique von H ist . Es ist bekannt, dass t w ( G ) = min H ω ( H ) - 1 ist. Hier wird das Minimum über alle minimalen Triangulationen H von G genommen .$H$$G$$X$$H$

Die obige Formel impliziert, dass es ausreicht , um zu beweisen, dass ist, dass alle potenziellen maximalen Cliquen von G eine Größe von höchstens k haben . Das beweisen wir jetzt. Sei X eine potentielle maximale Clique von G und nehme an, dass | X | ≥ k + 1 .$tw(G) \leq k-1$$G$$k$$X$$G$$|X| \geq k+1$

Wir werden die folgende Charakterisierung von potentieller maximaler Clique verwenden: a Artikulationssatz ist eine potentielle maximale Clique in G , wenn, und nur wenn, für jedes Paar u , v nicht benachbarter (distinct) Eckpunkte in X ein Pfad ist , P u , v von u zu v in G mit all ihren inneren Ecken außerhalb von X . Diese Charakterisierung findet sich in der Arbeit Treewidth and Minimum Fill-in: Gruppierung der Mindesttrennzeichen nach Bouchitte und Todinca.$X$$G$$u$$v$$X$$P_{u,v}$$u$$v$$G$$X$

Mit dieser Charakterisierung ist es einfach, aus X ein Moll abzuleiten . Lassen Sie u ∈ X . Für jeden Scheitelpunkt v ∈ X ∖ { u } , entweder u v eine Kante von G , oder es ist ein Pfad P u , v von u zu v mit allen internen Scheiteln außerhalb X . Für alle v ∈ X , die nicht an u angrenzen, ziehen Sie alle inneren Eckpunkte von P $K_{1,k}$$X$$u \in X$$v \in X \setminus \{u\}$$uv$$G$$P_{u,v}$$u$$v$$X$$v \in X$$u$ inu. Am Ende haben wir ein Moll vonG,in demuanXangrenzt, und | X | ≥k+1. Der Grad vonuin diesem Moll ist also mindestensk, was den Beweis vervollständigt.$P_{u,v}$$u$$G$$u$$X$$|X| \geq k+1$$u$$k$