Der Standardbeweis für die Chernoff-Bindung (aus dem Lehrbuch Randomized Algorithms ) verwendet die Markov-Ungleichungs- und Momenterzeugungsfunktionen, wobei ein wenig Taylor-Expansion hinzukommt. Nichts zu schwierig, aber etwas mechanisch.
Es gibt jedoch auch andere von Chernoff gebundene Beweise, die die tiefere Struktur aufdecken, die das Ergebnis bestimmt. Zum Beispiel gibt es eine informationstheoretische Version, die sich an der Methode der Typen orientiert, die in diesem Aufsatz von Impagliazzo und Kabanets sowie in diesem kurzen Beitrag von Sanjoy Dasgupta veranschaulicht wird . Diese letzteren Beweise sind insofern "intuitiver", als sie eine Verallgemeinerung des Standardergebnisses liefern und auch erklären, woher die lustigen Ausdrücke im Exponenten stammen (es ist eine KL-Divergenz).
Was sind gute Beispiele für solche Dinge? Um genauer zu sein, hier sind die Regeln:
- Die Aussage sollte einigermaßen bekannt sein (die Art von Dingen, die in einer Art Abschlussklasse gelehrt würden).
- In Lehrbüchern oder Standard-Referenzmaterialien sollte ein "Standard" -Proof vorhanden sein, der "allgemein" vermittelt wird
- Es sollte einen alternativen Beweis geben, der nicht so gut bekannt ist, NICHT allgemein gelehrt wird und entweder eine allgemeinere Aussage beweist oder die Aussage mit einer tieferen mathematischen Struktur verknüpft.
Ich beginne mit zwei Beispielen.
Der Tschernoff ist angebunden
- "Lehrbuch" Beweis: Markov-Ungleichung, Momenterzeugungsfunktionen, Taylor-Expansion (MR)
- Gelegentlicher und aufschlussreicher Beweis: Typmethode, Exponent des Schwanzes mit KL-Divergenz
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- "Lehrbuch" Beweis: Basisfall mit univariatem Polynom. Induktion über die Anzahl der Variablen
- "ungewöhnlicher" Beweis: geometrisches Argument über Dana Moshkovitz (und Per Vognsen )
Ein Beispiel pro Antwort bitte.
ps ich was bedeutet nicht unbedingt , dass die ungewöhnliche Beweis sollte gelehrt werden: ein direkter Beweis ist oft einfacher für Studenten. Aber in dem Sinne, dass "Beweise uns helfen zu verstehen", sind diese alternativen Beweise sehr hilfreich.