Ausreichende Bedingungen für den Zusammenbruch der Polynomhierarchie (PH)

Was sind einige (nicht bekannte) Behauptungen, dass der PH zusammenbrechen muss, wenn er wahr ist?

Antworten, die eine kurze Aussage auf hoher Ebene mit Referenzen enthalten, sind willkommen. Ich habe versucht, ohne viel Glück rückwärts zu suchen.

Es gibt eine (wachsende) Anzahl parametrisierter Komplexitätsergebnisse, bei denen das Vorhandensein einer Kernelisierung in Polynomgröße den Zusammenbruch des PH auf die dritte Ebene impliziert. Die zentrale Technik ist in [1] angegeben und baut auf früheren Arbeiten auf (siehe [1]).

Als einfaches Beispiel ist das Path-Problem die parametrisierte Version des Longest Path-Problems:$k$

$k$ -Path Instanz : Ein Graph und Integer . Parameter : k . Frage : Enthält G einen Pfad der Länge k ? G k
$G$$k$
$k$
$G$$k$

Dieses Problem tritt bei FPT (mit etwas praktischen Algorithmen) auf, aber in [2] zeigen sie, dass der PH auf Σ P 3 kollabiert , wenn er einen Kern mit polynomialer Größe (in ) hat . (Die aktuelle Präsentation wird in der Regel als negatives Keralisierungsergebnis formuliert, es sei denn, NP ⊆ coNP / poly oder coNP ⊆ NP / poly. Wenn Sie also nach etwas wie "kein Polynomkern, es sei denn" suchen, werden viele Ergebnisse erzielt.)$k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Verweise

1. HL Bodlaender, BMP Jansen und S. Kratsch, "Kernelization Lower Bounds by Cross-Composition", SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), S. 277–305. [arXiv Version]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, "Über Probleme ohne Polynomkerne", Journal of Computer and System Sciences, 75 (8): 423-434. 2009. [Stanford gehostete Version]

Hier ist eine weitere interessante Bedingung, unter der die Polynomhierarchie auf die dritte Ebene kollabiert: Angenommen, eine NP-vollständige Sprache hat eine zufällige Selbstreduktion (nicht adaptiv). Dann kollabiert die auf Σ P 3 . Als Referenz: Sehen Sie sich die Notizen von Luca Trevisan an . (Satz 67)$\Sigma_{3}^{P}$

Eine weitere interessante Bedingung ist folgende:

Wir wissen, dass die Approximation von in B P P N P ist (jetzt ergibt B P P in Σ P 2 eine Approximation von # 3 S A T in Σ P 3 ).$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

Auch indem Toda-Theorem .$PH \subseteq P^{\#P}$

Wenn wir diese beiden kombinieren, erhalten wir: Wenn die Annäherung von genauen Berechnung von # 3 S A T entspricht , bricht die Polynomhierarchie zusammen.$\#3SAT$$\#3SAT$

Verweise:

[1] Jim Kadin, Die polynomielle Zeithierarchie kollabiert, wenn die boolesche Hierarchie kollabiert , SIAM Journal on Computing 17 (1988), Nr. 6, S. 1263–1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Richard Chang und Jim Kadin, Die Boolesche Hierarchie und die Polynomhierarchie: eine engere Verbindung , SIAM Journal on Computing 25 (1996), Nr. 2, S. 340–354, doi: 10.1137 / S0097539790178069 .

$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Eine weitere Formalisierung ist:

$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$$A \implies B$

$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. $\mathbb{PH}$
2. $\mathbb{PH}$

$\mathbb{PH}$

Hier sind einige prägnante:

1. $PSPACE \subseteq P/poly$
2. $EXP \subseteq P/poly$
3. $NP \subseteq P/log$