Zum Derandomisieren von Polynomidentitätstests

Beim Testen der Polynomidentität suchen wir nach einem deterministischen Algorithmus, um auf die Gleichheit zweier Polynome . Die Derandomisierung bekannter effizienter randomisierter Algorithmen und die Erstellung eines effizienten deterministischen Algorithmus ist ein wichtiges offenes Problem. Gibt es ein vollständiges Problem für PIT, so dass die Derandomisierung von Identitätstests für diese eine Klasse von Polynomen dieses offene Problem löst? Wenn nicht, gibt es Klassen von Polynomen, in denen dieses Problem gelöst ist, und Klassen, in denen sie offen sind?$g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

[tl;dr] Es ist viel bekannt und es ist ein sehr aktiver Bereich! [/tl;dr]

Es ist wichtig, die Darstellung der Eingabepolynome anzugeben, da das Problem trivial ist, da sie als Koeffizientenlisten oder Monome ungleich Null angegeben werden. Daher nimmt man normalerweise an, dass die Polynome als arithmetische Schaltungen (auch als geradlinige Programme bezeichnet) angegeben werden. Und der allgemeine Fall läuft darauf hinaus, zu testen, ob ein gegebenes Polynom das Nullpolynom ist.

Es wurden zwei Haupteinstellungen untersucht: der Whitebox-Fall, in dem man die arithmetische Schaltung hat und sie überprüfen kann, und der Blackbox-Fall, in dem man einige Dinge über die Schaltung weiß (Größe, formaler Grad, ...), dies aber nicht kann Überprüfen Sie es, bewerten Sie es nur anhand einiger Werte.

Hier sind einige der Einschränkungen für die untersuchten Schaltkreise:

• $2$$3$$4$$3$$4$
• Oberes / unteres Fan-In: Für Schaltkreise mit begrenzter Tiefe wurden viele Ergebnisse bewiesen, wenn das Fan-In (oder die Arität, dh die Anzahl der Eingänge zu einem bestimmten Gate) des oberen Gates oder des unteren Gates begrenzt ist.
• Andere Einschränkungen wie die Begrenzung der Häufigkeit der Verwendung einer Variablen wurden ebenfalls untersucht.

Diese Umfrage von Nitin Saxena ist eine gute Quelle für diese Ergebnisse. Beachten Sie jedoch, dass es bereits mehr als ein Jahr (!) Alt ist und dies ein sehr aktiver Bereich ist. Die neuesten Ergebnisse werden daher nicht behandelt.

Schließlich gibt es Zusammenhänge zwischen der Derandomisierung von PIT und der Derandomisierung anderer Probleme:

• Noether's Normalization Lemma von Ketan D. Mulmuley;
• Multivariate Polynomfaktorisierung von Swastik Kopparty, Shubhangi Saraf und Amir Shpilka.