Verzweigung einer vorausschauenden Typentheorie

Die meisten mir bekannten Typentheorien sind prädikativ, womit ich das meine

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

ist in den meisten Theoremprüfern nicht gut typisiert, da dieser pi-Typ zum selben Universum gehört wie Propund es nicht so ist Prop : Prop. Dies macht sie prädikativ und verbietet unkomplizierte Definitionen wie die oben genannten. Eine Menge "Blackboard-Sprachen" wie System F oder CoC sind jedoch in der Tat nicht aussagekräftig. Tatsächlich ist diese Impredikativität entscheidend für die Definition der meisten Konstrukte, die nicht primitiv in der Sprache enthalten sind.

Meine Frage ist, warum man die Impredikativität aufgeben möchte, wenn man logische Konstrukte definieren kann. Ich habe ein paar Leute sagen hören, dass Unvorhersehbarkeit "Berechnung" oder "Induktion" vermasselt, aber ich habe Probleme, eine konkrete Erklärung zu finden.

Ich werde meine Kommentare zu einer Antwort ausarbeiten. Die Ursprünge der prädikativen Typentheorie sind fast so alt wie die Typentheorie selbst, da Russels Motivation darin bestand, "zirkuläre" Definitionen zu verbieten, die als Teil der Quelle der Inkonsistenzen und Paradoxien des 19. Jahrhunderts identifiziert wurden. Thierry Coquand gibt einen aufgeklärten Überblick hier . In dieser Theorie gehören Prädikate über eine "Ebene" oder einen Typ zu den Typen der "nächsten" Ebene, in der es eine unendliche (zählbare) Anzahl von Ebenen gibt.

Während Russels prädikative Hierarchie (anscheinend) ausreichte, um die bekannten Paradoxien zu verwerfen, stellte sich heraus, dass es sehr schwierig war, sie als grundlegendes System zu verwenden. Insbesondere war es äußerst schwierig, selbst etwas so Einfaches wie das reelle Zahlensystem zu definieren, und so postulierte Russel ein Axiom, das Axiom der Reduzierbarkeit, das postulierte, dass alle Ebenen auf eins "reduziert" wurden. Dies war natürlich keine zufriedenstellende Entwicklung.

Im Gegensatz zu den "schädlichen" Aussagen (wie dem uneingeschränkten Verständnis) schien dieses Axiom jedoch keine Inkonsistenzen zu verursachen. Die nachfolgenden Formulierungen grundlegender Theorien ( einfache Typentheorie , Zermelos Mengenlehre ) akzeptierten sie im großen Stil und machten Prädikatenfamilien (Quantifizierung über möglicherweise das gesamte Universum von Mengen) zu Prädikaten auf derselben Ebene.

Um 1971 führte Martin-Löf die Theorie des abhängigen Typs ein, in der sowohl dieses Prinzip als auch das weitere Axiom Type : Typegelten. Dieses System erwies sich aus subtilen Gründen als inkonsistent: Das naive Russel-Paradoxon kann nicht (auf einfache Weise) ausgespielt werden, aber eine clevere Codierung lässt dennoch einen Widerspruch zu. Dies führte zu einer Glaubenskrise ähnlich der von Russel, die zur prädikativen Typentheorie mit Universen führte, die wir kennen und lieben.

Es gibt eine Möglichkeit, die Theorie zu reparieren, um eine "unschuldige" Impredikativität a la Zermelo- Mengenlehre zuzulassen , was zu Typentheorien wie der Konstruktionsrechnung führt, aber der Schaden wurde angerichtet, und die "schwedische Schule" der Typentheorie neigt dazu, Impredikativität abzulehnen.

Mehrere Punkte:

1. Was hat das mit intuitionistischer Mathematik zu tun? Die Antwort ist nicht viel. Um die Wende des 20. Jahrhunderts neigten Mathematiker dazu, die Verwendung von zirkulären / impredikativen Prinzipien mit nicht konstruktivem Denken zu verbinden (die Intuition ist, dass das impredikative Denken ein bereits existierendes mathematisches Universum anzunehmen scheint , ebenso wie die Verwendung der ausgeschlossenen Mitte). Es gibt jedoch vollkommen intuitionistische improvisatorische Theorien (wie das IZF ). Menschen, die sich für Intuitionismus interessieren, interessieren sich aus irgendeinem Grund immer noch für Prädikativismus (ich bin natürlich schuld daran).

2. Was können Sie in der prädikativen Mathematik tun? Wie Martin in seiner Antwort hervorhebt, startete Hermann Weyl (nicht zu verwechseln mit Andre Weil) ein Programm, das versuchte, die Ausdruckskraft von Prädikativsystemen zu untersuchen, wobei davon ausgegangen wurde, dass Prädikativsysteme zwischen Peano-Arithmetik und zweiter Ordnung von Ausdrucksstärke waren Arithmetik , die nach den meisten Maßstäben als nicht aussagekräftig gilt (und auf der Seite der Typentheorie mit System F vergleichbar ist). Das Programm wurde später als "umgekehrte Mathematik" bezeichnet, da es versuchte, die Stärke bekannter mathematischer Theoreme anhand der Axiome zu klassifizieren, die erforderlich sind, um sie zu beweisen (die Umkehrung des üblichen Ansatzes). DasWikipedia-Seite geben einen guten Überblick; Das Programm war insofern recht erfolgreich, als der größte Teil der Mathematik des 19. Jahrhunderts leicht in sehr schwachen Systemen untergebracht werden kann. Es ist noch offen, ob dieses Programm auf neuere Ergebnisse beispielsweise in der Theorie höherer Kategorien skaliert werden kann (der Verdacht besteht darin, dass die Antwort "Ja, mit großem Aufwand" lautet).

Eine Dimension ist die Typinferenz. Die Typinferenz von System F ist zum Beispiel nicht entscheidbar, aber einige seiner prädikativen Fragmente haben eine entscheidbare (teilweise) Typinferenz.

Eine weitere Dimension ist die Konsistenz als Logik. Namhafte Denker haben sich in der Vergangenheit etwas unwohl gefühlt, wenn es darum ging, die Grundlagen der Mathematik zu verbessern. Immerhin ist es eine Form des Zirkelschlusses. Ich denke, H. Weyl war vielleicht der erste oder einer der ersten, der versucht hat, so viel Mathematik wie möglich auf prädikative Weise zu rekonstruieren ... nur um auf der sicheren Seite zu sein. Wir haben gelernt, dass die Zirkularitäten der Impredikativität in der klassischen Mathematik nicht problematisch sind, in dem Sinne, dass niemals Widersprüche aus "zahmen" Impredikativdefinitionen abgeleitet wurden. Mit der Zeit haben wir gelernt, ihnen zu vertrauen. Beachten Sie, dass dies (Fehlen eines Paradoxons) empirisch istÜberwachung! Ein Großteil der Entwicklung der Beweistheorie mit ihren seltsamen Ordnungskonstruktionen hat jedoch letztendlich den Wunsch, die gesamte Mathematik "von unten" aufzubauen, dh ohne improvisatorische Definitionen. Dieses Programm ist nicht abgeschlossen. In den letzten Jahren hat sich das Interesse an prädikativen Grundlagen der Mathematik von Paradoxa-Sorgen zum rechnerischen Inhalt von Beweisen verlagert, was aus verschiedenen Gründen interessant ist. Es stellt sich heraus, dass unkomplizierte Definitionen das Extrahieren von Recheninhalten erschweren. Ein weiterer Aspekt der Sorge um die Konsistenz ergibt sich aus der Curry-Howard-Tradition. Martin-Löfs ursprüngliche Typentheorie war beeindruckend ... und nicht stichhaltig. Nach diesem Schock schlug er nur prädikative Systeme vor, die jedoch mit induktiven Datentypen kombiniert wurden, um einen Großteil der Kraft der Impredikativität wiederzugewinnen.

Typentheorien tendieren hauptsächlich aus sozio-technischen Gründen zur Prädikativität.

Erstens kann das informelle Konzept der Impredikativität auf (mindestens) zwei verschiedene Arten formalisiert werden. Zunächst sagen wir, dass eine Typentheorie wie System F nicht aussagekräftig ist, da die Typquantifizierung über alle Typen (einschließlich des Typs, zu dem der Quantifizierer gehört) reichen kann. So können wir generische Identitäts- und Kompositionsoperatoren definieren:

Beachten Sie jedoch, dass diese Operationen in der Standard- (z. B. ZFC-) Mengenlehre nicht als Objekte definiert werden können . In der Mengenlehre gibt es keine "Identitätsfunktion", da eine Funktion eine Beziehung zwischen einer Domänenmenge und einer Codomänenmenge ist. Wenn eine einzelne Funktion die Identitätsfunktion sein könnte, könnten Sie sie zum Erstellen einer Menge verwenden aller Sätze. (Auf diese Weise zeigte John Reynolds im Grunde genommen, dass der Polymorphismus im System-F-Stil keine satztheoretischen Modelle hatte.)

$X$$S$$P$$X$$P$$X$

Daher ist die Impredikativität im F-Stil nicht mit einer naiven Sichtweise von Typen als Mengen vereinbar. Wenn Sie die Typentheorie als Beweisassistenten verwenden, ist es schön, Standardmathematik einfach auf Ihr Tool portieren zu können, und daher entfernen die meisten Leute, die solche Systeme implementieren, einfach die Impredikativität. Auf diese Weise hat alles sowohl eine satztheoretische als auch eine typentheoretische Lesart, und Sie können Typen so interpretieren, wie es für Sie am bequemsten ist.