Probleme mit großen offenen Komplexitätslücken

Bei dieser Frage geht es um Probleme, bei denen eine große Lücke in Bezug auf die Komplexität zwischen der bekannten Untergrenze und der Obergrenze besteht, jedoch nicht aufgrund offener Probleme in Bezug auf die Komplexitätsklassen.

Um genauer zu sein, nehmen wir an, ein Problem hat die Lückenklassen (mit , nicht eindeutig definiert), wenn eine maximale Klasse ist, für die wir beweisen können, dass es -hart ist, und eine minimale bekannte obere Klasse ist gebunden, dh wir haben einen Algorithmus in , der das Problem löst. Dies bedeutet, wenn wir am Ende feststellen, dass das Problem vollständig mit , hat dies keinen Einfluss auf die Komplexitätstheorie im Allgemeinen, anstatt einen Algorithmus für ein vollständiges Problem zu finden.$A,B$$A\subseteq B$$A$$A$$B$$B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

Ich interessiere mich nicht für Probleme mit und , weil es bereits Gegenstand dieser Frage ist .$A\subseteq P$$B=NP$

Ich suche nach Beispielen für Probleme mit Lückenklassen, die so weit wie möglich sind. Um den Umfang und die Frage zu präzisieren, interessiere ich mich besonders für Probleme mit und , was bedeutet, dass sowohl die Mitgliedschaft in als auch die Vollständigkeit mit dem aktuellen Kenntnisstand übereinstimmt, ohne dass bekannt wird, dass Klassen zusammenbrechen (sagen wir Klassen aus diese Liste ).$A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

Das Knotenäquivalenzproblem .

Sind zwei in der Ebene gezogene Knoten topologisch gleich? Es ist bekannt, dass dieses Problem entscheidbar ist, und es scheint keine Hindernisse für die Komplexität der Berechnung in P zu geben. Die beste Obergrenze, die derzeit für die Komplexität der Zeit bekannt ist, scheint ein Turm mit s Höhe c n zu sein , wobei c = 10 10 6 und n ist die Anzahl der Kreuzungen in den Knotendiagrammen. Dies ist auf die von Coward und Lackenby festgelegte Anzahl von Reidemeister-Zügen zurückzuführen, die erforderlich sind, um einen Knoten zu einem äquivalenten Knoten zu machen. Siehe Lackenbys neueres Papier$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ für einige neuere verwandte Ergebnisse und für die explizite Form der oben angegebenen Bindung (Seite 16).

Hier ist eine Version des MCSP-Problems (Minimum Circuit Size Problem): Hat die Bit-Wahrheitstabelle einer Booleschen Funktion eine Schaltung mit einer Größe von höchstens 2 n / 2 ?$2^n$$2^{n/2}$

Bekanntermaßen nicht in . Enthalten in N P . Es wird allgemein angenommen, dass es N P -hart ist, aber dies ist offen. Ich glaube, es ist nicht einmal bekannt, dass es A C 0 [ 2 ] -hart ist. In der Tat zeigt die jüngste Arbeit mit Cody Murray (erscheint in CCC'15), dass es keine einheitliche NC0-Reduktion von PARITY zu MCSP gibt.$AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

Die Komplexität der Berechnung eines Bits (in Binärform angegeben) einer irrationalen algebraischen Zahl (z. B. ) hat die beste bekannte obere Grenze für P P P P P P P über eine Reduktion auf das Problem B i t S L P , welche diese obere Grenze zu habenbekannt[ABD14]. Andererseits wissen wir nicht einmal, ob dieses Problem schwieriger ist als die Berechnung der Parität vonnBits -soweitwir wissen, könnte dieses Problem inA C 0 liegen . Beachten Sie jedoch, dass wir wissen, dass kein endlicher Automat die Bits einer irrationalen algebraischen Zahl berechnen kann[AB07]$\sqrt{2}$$\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$$\mathsf{BitSLP}$$n$$\mathsf{AC^0}$

Ein weiteres natürliches topologisches Problem, das der Antwort von Peter Shor ähnelt, ist die Einbettbarkeit von zweidimensionalen abstrakten simplizialen Komplexen in $\mathbb{R}^3$ . Im Allgemeinen ist es natürlich zu fragen, wann wir effektiv / effizient entscheiden können, dass ein abstrakter dimensionaler simplizieller Komplex$k$ in eingebettet werden kann . Für k = 1 und d = 2 ist dies das Graphplanaritätsproblem und hat einen linearen Zeitalgorithmus. Für k = 2 und d = 2 gibt es auch einen linearen Zeitalgorithmus . Das$\mathbb{R}^d$$k=1$$d=2$$k=2$$d=2$ Fall k = 2 , d = 3 war bis zum letzten Jahr offen, alsMatousek, Sedgwick, Tancer und Wagner zeigten, dass er entscheidbar ist. Sie sagen, dass ihr Algorithmus eineprimitive rekursiveZeitgrenze hat, abergrößer als ein Turm von Exponentialen ist. Andererseits spekulieren sie, dass es möglich sein könnte, das Problem in NP umzusetzen, aber darüber hinauszugehen, wäre eine Herausforderung. Es scheint jedoch keinen starken Beweis dafür zu geben, dass ein Polyzeit-Algorithmus unmöglich ist.$k=2$$d=3$

Das letztgenannte Papier enthält viele Literaturhinweise.

Multicounter-Automaten (MCAs) sind endliche Automaten, die mit Zählern ausgestattet sind, die in einem Schritt inkrementiert und dekrementiert werden können, aber nur Ganzzahlen> = 0 als Zahlen verwenden. Im Gegensatz zu Minsky-Maschinen (auch Zählerautomaten genannt) dürfen MCAs nicht testen, ob ein Zähler Null ist.

Eines der algorithmischen Probleme mit einer großen Lücke im Zusammenhang mit MSCs ist das Problem der Erreichbarkeit. ZB, ob der Automat aus einer Konfiguration mit dem Ausgangszustand und allen Zählern Null, einer Konfiguration mit einem akzeptierenden Zustand und allen Zählern wieder Null erreichen kann.

Das Problem ist schwer für EXPTIME (wie von Richard Lipton 1976 gezeigt), entscheidbar (Ernst Mayr, 1981) und lösbar in Fω3 (danke Sylvain, dass er darauf hingewiesen hat). Eine riesige Lücke.

(Quantum Merlin-Arthur mit zwei nicht verwickelten Beweisen): sicherlich Q M A -hart, aber nur in N E X P bekannt . $\mathsf{QMA}(2)$$\mathsf{QMA}$$\mathsf{NEXP}$

Das mit Noethers Normalisierungs-Lemma verbundene Rechenproblem für explizite Varietäten ("explizit" im Sinne dieses Papiers [ frei verfügbare Vollversion ]). Die bekannteste obere Schranke ist (Anmerkung, LEERTASTE, nicht ZEIT!), Aber es wird vermutet, dass sie sich in P befindet (und in der Tat ist ihr Vorhandensein in P im Wesentlichen gleichbedeutend mit dem Derandomisieren von PIT).$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Das Skolem-Problem (bei einer linearen Wiederholung mit ganzzahligen Basisfällen und ganzzahligen Koeffizienten erreicht es jemals den Wert 0) ist bekanntermaßen NP-hart und nicht als entscheidbar bekannt. Soweit ich weiß, würde irgendetwas dazwischen mit unserem aktuellen Wissen übereinstimmen, ohne dass die Standardkomplexitätsklassen zusammenbrechen.