Wie können wir bei einer Menge S von nxn Permutationsmatrizen (die nur einen kleinen Bruchteil der n! Möglichen Permutationsmatrizen darstellt) Teilmengen T von S mit minimaler Größe finden, so dass das Addieren der Matrizen von T an jeder Position mindestens 1 hat?
Ich interessiere mich für dieses Problem, bei dem S eine kleine Untergruppe von S_n ist. Ich frage mich, ob es möglich ist, Approximationsalgorithmen zu finden (und zu implementieren!), Die viel schneller sind als die gierigen Algorithmen (sie werden so oft ausgeführt, bis sie Glück haben), was ein sehr langsamer Vorgang ist, aber dennoch einige nahezu optimale Grenzen gesetzt hat in kleinen Fällen), oder ob Unangemessenheit garantiert, dass ich nicht kann.
Ein paar einfache Fakten zu diesem Problem: Eine zyklische Gruppe von Permutationsmatrizen der Länge n löst dieses Problem natürlich optimal. (Es werden mindestens n Matrizen benötigt, da jede Permutationsmatrix n Einsen hat und n ^ 2 Einsen benötigt werden.)
Die Mengen S, an denen ich interessiert bin, enthalten keine n-zyklische Gruppe.
Dieses Problem ist ein ganz besonderer Fall von Set-Cover. In der Tat, wenn wir X die Menge (1,2, ... n) * (1,2, ... n) mit n ^ 2 Elementen sein lassen, dann entspricht jede Permutationsmatrix einer Teilmenge der Größe n und I bin auf der Suche nach der kleinsten Teilmenge dieser Teilmengen, die X abdecken. Set-Cover selbst ist keine gute Möglichkeit, um dieses Problem zu betrachten, da eine Annäherung an das allgemeine Set-Cover-Problem besteht.
Der einzige Grund, warum dieses Problem bei Verwendung des Greedy-Ansatzes nicht viel zu langsam ist, besteht darin, dass durch Symmetrie in der Permutationsgruppe viel Redundanz beseitigt wird. Insbesondere wenn S eine Untergruppe ist und T eine kleine Untergruppe ist, die eine minimale Bedeckungsmenge ist, dann sind die Mengen sT (multiplizieren Sie T mit einem beliebigen Element der Gruppe s) immer noch in S und sind immer noch eine Bedeckungsmenge (natürlich) von gleicher Größe, also immer noch minimal.) Falls Sie sich fragen, hat der erfolgreiche Fall n ~ 30 und | S | ~ 1000, mit glücklichen gierigen Ergebnissen, die | T | haben ~ 37. Fälle mit n ~ 50 haben einige sehr schlechte Grenzen, die sehr lange dauern.
Zusammenfassend frage ich mich, ob es Annäherungsansätze für dieses Problem gibt oder ob es noch allgemein genug ist, um in einen Unannäherungstheorem zu passen, wie es es für das allgemeine Mengenabdeckungsproblem gibt. Welche Algorithmen werden verwendet, um verwandte Probleme in der Praxis zu approximieren? Es scheint, als wäre etwas möglich, da die Teilmengen alle dieselbe Größe haben und jedes Element mit derselben kleinen Frequenz 1 / n erscheint.
-B