System der "stochastischen Gleichungen"

Betrachten Sie ein Diagramm mit Eckpunkten und Kanten. Die Eckpunkte sind mit reellen Variablen , wobei festgelegt ist. Jede Kante stellt eine "Messung" dar: Für die Kante ich eine Messung . Genauer gesagt ist eine wirklich zufällige Größe in , gleichmäßig verteilt und unabhängig von allen anderen Messungen (Kanten). $n$ $m$ $x_i$ $x_1=0$ $(u,v)$ $z \approx x_u - x_v$ $z$ $(x_u - x_v) \pm 1$

Ich bekomme die Grafik und die Messungen mit dem oben genannten Verteilungsversprechen. Ich möchte das System "lösen" und den Vektor von . Gibt es eine Reihe von Arbeiten zu Problemen dieser Art? $x_i$

Eigentlich möchte ich ein noch einfacheres Problem lösen: Jemand zeigt mich auf die Eckpunkte und , und ich muss berechnen . Es gibt viele Dinge zu versuchen, wie einen kürzesten Pfad zu finden oder so viele disjunkte Pfade wie möglich zu finden und sie zu mitteln (gewichtet mit der Umkehrung der Quadratwurzel der Länge). Gibt es eine "optimale" Antwort? $s$ $t$ $x_s - x_t$

Das Problem der Berechnung von ist selbst nicht vollständig definiert (z. B. sollte ich einen Prior für die Variablen annehmen?) $x_s - x_t$

ds.algorithms graph-algorithms

— Mihai
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Obwohl dies keine Antwort ist, fällt Ihnen die Verwendung eines Kalman-Filters entlang eines Pfades von s nach t ein, um die Pfadlänge in den Griff zu bekommen.

— Suresh Venkat

Dies mag nicht helfen oder viel mehr Technologie als nötig sein, aber es gibt eine sich entwickelnde Theorie der stochastischen algebraischen Topologie, um Fragen in der Robotik und Molekularbiologie zu Komplexen zu beantworten, deren Kanten ungenau gemessen werden. Es gibt Sätze über die Asymptotik zufälliger Verknüpfungen (Verknüpfung = Graph mit Kantengewichten). Ich denke zum Beispiel, dass die Ergebnisse in diesem Artikel es Ihnen ermöglichen würden, die erwarteten Betti-Zahlen Ihres Diagramms zu erhalten: arxiv.org/abs/0708.2997

— Aaron Sterling

Ist die Tatsache, dass die Fehler in [-1,1] gleichmäßig verteilt sind, eher als eine andere Verteilung, die Ihrem Problem innewohnt, oder eine willkürliche Modellierungsentscheidung? In letzterem Fall können Sie die Dinge wahrscheinlich viel einfacher machen, indem Sie stattdessen Gaußsche verwenden.

— Warren Schudy

Das ist dem Problem sicherlich inhärent.

\pm 1

$\pm 1$

— Mihai

Antworten:

Der Bereich, auf den Sie nach Antworten suchen möchten, ist maschinelles Lernen. Sie haben ein grafisches Modell beschrieben. Ich denke, in diesem Fall sollten so einfache Methoden wie die Glaubensausbreitung ausreichen.

— Raphael
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Die Verbreitung des Glaubens ist in allgemeinen Diagrammen nicht genau. Mihais Problem scheint mit mehr prinzipiellen Methoden als der Verbreitung von Glauben lösbar zu sein.

— Warren Schudy

Wenn die Messungen Gauß'sch wären, würde die Minimierung der Summe der quadratischen Residuen (wie die lineare Kurvenanpassung der kleinsten Quadrate) einen Schätzer für die maximale Wahrscheinlichkeit ergeben. Für Ihr Problem habe ich nichts aufgeschrieben, aber ich würde (über die Bayes-Regel) vermuten, dass jeder Satz von , der Ihre Daten hätte erzeugen können, diese wahrscheinlich auch erzeugt hat. Sie können eine Max-Likelihood-Lösung finden, indem Sie einen Punkt in einem Polytop finden (dh ein lineares Programm ohne Ziel lösen). Je nachdem, was Sie mit Ihrer Schätzung (Verlustfunktion) tun möchten, ist der beste Schätzer derjenige, der das Integral Ihrer Verlustfunktion über diesem Polytop minimiert. Ich werde warten, bis Sie uns Ihre Verlustfunktion mitteilen, bevor Sie erraten, wie Sie dieses Integral effizient bewerten und minimieren können. $x$

— Warren Schudy
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Das scheint schwer zu glauben. Angenommen, mein Graph ist zwischen und und jeder serielle Pfad hat dieselbe Länge. Jeder Pfad gibt mir eine unabhängige Messung derselben Größe, und wenn die Pfade lang sind, wird der Fehler gaußsch. Es scheint klar zu sein, dass die einzigartige Möglichkeit darin besteht, die Pfade zu mitteln, nicht wahr?

s

$s$

t

$t$

— Mihai

Guter Punkt. Überall im Polytop befindet sich ein Maximum-Likelihood-Schätzer für die gemeinsame Verteilung der , aber ich habe vergessen, dass Sie nur nach einem Schätzer für gesucht haben . Um den Max-Likelihood-Schätzer von , müssen Sie die Ebene mit maximalem Schnittpunkt mit diesem Polytop finden. Es scheint, dass das Berechnen von Polytopvolumina im Allgemeinen schwierig genau ist, aber angenähert werden kann: mathoverflow.net/questions/979/… . Sie können also eine binäre Suche nach einem ungefähren Wert für die maximale Wahrscheinlichkeit durchführen.

x

$x$

x_{s} - x_{t}

$x_s-x_t$

x_{s} - x_{t}

$x_s-x_t$

x_{s} - x_{t} = c

$x_s - x_t = c$

— Warren Schudy

Natürlich könnte die Berechnung des Volumens des jeweiligen Polytops möglicherweise viel einfacher sein. Ich müsste darüber nachdenken.

— Warren Schudy

Ich habe den Verdacht, dass sich Gaußsche besser verhalten, da die MLE der gemeinsamen Verteilung auch die MLE jeder Variablen angibt. Aber ich müsste mehr nachdenken und / oder nachschlagen, um sicherzugehen.

— Warren Schudy

Ihr Serien- / Parallelbeispiel legt nahe, dass das Minimieren der Summe der quadratischen Residuen für einige Diagramme eine effektive Heuristik sein kann, selbst wenn Ihre Fehler nicht Gaußsch sind.

— Warren Schudy