Warum sind mod_m Gates interessant?

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Ryan Williams hat gerade seine Untergrenze für ACC angegeben , die Klasse von Problemen mit Schaltkreisen mit konstanter Tiefe und unbegrenztem Fan-In und Gates AND, OR, NOT und MOD_m für alle möglichen m.

Was ist das Besondere an MOD_m-Gattern?

Sie erlauben es, Arithmetik über jeden Ring Z_m zu simulieren.
Vor Ryans Ergebnis gab es die erste Klasse, für die die bekannten Untergrenzen nicht funktionierten, wenn MOD_m-Gatter in die Mischung geworfen wurden.

Gibt es einen anderen natürlichen Grund, sich mit MOD_m-Gattern zu befassen?

— Dana Moshkovitz
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$ACC^0$ ist eine natürliche Komplexitätsklasse.

1) Barrington zeigte, dass die Berechnung über nicht lösbare Monoide einfängt, während über lösbare Monoide einfängt . $NC^1$ $ACC^0$

2) Kürzlich haben Hansen und Koucky ein schönes Ergebnis bewiesen, dass planare Verzweigungsprogramme mit konstanter Breite in Polygröße genau . Ohne die Planaritätsbedingung erhalten wir natürlich Barringtons Ergebnis, das kennzeichnet . $ACC^0$ $NC^1$

Der Unterschied zwischen und ist also einerseits gruppentheoretisch und andererseits topologisch. $ACC^0$ $NC^1$

Hinzugefügt: Dana, ein einfaches Beispiel für eine lösbare Gruppe, ist , die symmetrische Gruppe über Elementen. Ohne auf Details einzugehen, hat jede lösbare Gruppe eine Reihe, deren Quotienten zufällig zyklisch sind. Diese zyklische Struktur wird beim Aufbau einer Schaltung zur Lösung von Wortproblemen in der Gruppe als Modifikationstor wiedergegeben. $S_4$

In Bezug auf die Planarität möchte man glauben, dass die Planarität zu Einschränkungen / Engpässen im Informationsfluss führen kann. Dies ist nicht immer der Fall: Beispielsweise ist bekannt, dass Variationen von planarem 3SAT NP-vollständig sind. In kleineren Klassen gelten diese Einschränkungen jedoch eher.

In ähnlicher Weise zeigte Wigderson NL / poly = UL / poly unter Verwendung des Isolations-Lemmas. Wir wissen nicht, wie wir das Isolationslemma über beliebige DAGs derandomisieren können, um NL = UL zu erhalten, aber wir wissen, wie wir dies für planare DAGs tun .

— V Vinay
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Vielen Dank für die Informationen! Ich würde gerne mehr über die Intuition für diese Ergebnisse erfahren. Zu meiner Frage: Ihr Argument lautet im Grunde, dass [O (log n) Tiefe, Tore AND, OR, NOT] natürlich ist und eine geringfügige Variation davon ist (zu lösbaren statt nicht lösbaren Monoiden, oder zu planaren und nichtplanaren Verzweigungsprogrammen). Könnten Sie etwas näher erläutern: Nennen Sie Beispiele für interessante Monoide zur Berechnung, und wie wichtig deren Lösbarkeit ist? Gibt es eine a priori Motivation, sich dafür zu interessieren, ob ein Verzweigungsprogramm planar ist oder nicht?

N C^{1}

$NC^1$

A C C

$ACC$

— Dana Moshkovitz

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Ergänzend: 1) Berechnung über aperiodische Monoide erfassen (Barrington und Thérien). 2) Aufwärtsplanare Verzweigungsprogramme erfassen (Barrington, Lu, Miltersen, Skyum).

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@ Vinay: Bist du sicher, dass das Ergebnis NL / poly = UL / poly von Wigderson stammt?

— Dai Le

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Vielleicht ist das nicht wirklich eine Antwort auf Ihre Frage. Um nur ein Beispiel zu nennen, warum Gatter (für zusammengesetztes ) manchmal mächtiger sind als Gatter: $\bmod m$ $m$ $\bmod p$

Betrachten Sie die Klasse der Schaltkreise mit konstanter Tiefe, die nur aus Gattern und Eingaben und Konstanten an den Blättern bestehen. Dann kann man leicht zeigen, dass die ODER-Funktion (zum Beispiel) von solchen Schaltungen nicht berechnet werden kann, unabhängig von der Größe der Schaltung. (Dies liegt daran, dass jede solche Schaltung ein Polynom mit niedrigem Grad über berechnet und der OR-Grad ) $\bmod p$ $\mathbb{F}_p$ $n$

Wenn wir jedoch Schaltungen betrachten, die nur aus Gattern bestehen, bei denen mindestens zwei verschiedene Primfaktoren hat, gibt es eine Schaltung der Tiefe (mit exponentieller Größe) für die ODER-Funktion. $\bmod m$ $m$ $2$

Und vor Ryans Ergebnis war vermutlich die kleinste Klasse, für die wir keine angemessenen Untergrenzen hatten. $AC^0[\bmod 6]$

— Ramprasad
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Zusatz zum letzten Satz: Es war bereits bekannt, dass die Berechnung von mit Schaltungen mit konstanter Tiefe unter Verwendung von UND-, ODER-, und Gattern für Primzahlen eine exponentielle Anzahl von Gattern erfordert. (Es gibt auch eine Erweiterung für Composites mit relativ Primzahlen.) Da 6 die kleinste Composite aus zwei unterschiedlichen Primzahlen ist, ist die "einfachste" zu berechnende Funktion, für die keine exponentielle Untergrenze bekannt war.

M O D_{q}

$MOD_q$

M O D_{p}

$MOD_p$

p \neq q

$p \ne q$

M O D_{6}

$MOD_6$

— Daniel Apon

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Nur um auf Ihre zwei Punkte einzugehen:

Wenn es darum geht, Berechnungen zu verstehen, ist modulares Zählen eine der Grenzen unseres Verständnisses. Modulares Zählen ist eines der einfachsten und natürlichsten Phänomene bei der Berechnung, aber wir scheinen so wenig darüber zu verstehen. Wir können nicht ausschließen, dass Schaltkreise mit Polynomgrößentiefe 3 mit nur Mod6-Gattern jede Funktion in NP berechnen können. Es wird jedoch vermutet, dass solche Schaltungen nur Funktionen mit großer Unterstützungsgröße berechnen können und daher keine sehr einfache Funktion wie AND berechnen können. Auf der oberen Seite ist die Situation ähnlich, wir haben keine nicht-trivialen Ergebnisse.

Diese Fragen sind auch aus rein mathematischer Sicht sehr interessant, da sie eng mit sehr natürlichen Fragen zu Polynomen und Matrizen über Z_m verknüpft sind. Zum Beispiel haben wir keine guten Untergrenzen für den Rang einer nxn-codiagonalen Matrix über Z_6. Eine codiagonale Matrix hat 0s auf der Diagonale und Nonzeros außerhalb der Diagonale.

— aada
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Wer sich für "prime versus composite modulo" interessiert, sollte die Homepage von Vince Grolmusz besuchen: grolmusz.pitgroup.org

— Stasys