Gibt es einen bekannten CCC, der im Rahmen einer probabilistischen Powerdomain-Operation geschlossen wurde?

Gibt es äquivalent eine bekannte Denotationssemantik für probabilistische funktionale Programmiersprachen höherer Ordnung? Insbesondere gibt es ein Domänenmodell eines reinen untypisierten Kalküls, das durch eine symmetrische zufällige binäre Auswahloperation erweitert wird.$\lambda$

Motivation

Kartesische geschlossene Kategorien liefern eine Semantik für Kalküle höherer Ordnung . Probabilistische Machtdomänen bieten Semantik für stochastische Programme. Ein CCC, der unter einer probabilistischen Powerdomain-Operation geschlossen wird, würde eine Semantik für eine stochastische funktionale Programmiersprache höherer Ordnung liefern.$\lambda$

Verwandte Arbeiten

Tix, Keimel und Plotkin (2004) [1] geben moderne Konstruktionen der Operationen der unteren, oberen und konvexen Machtdomäne an, bemerken dies jedoch

Es ist immer noch ein offenes Problem, ob es eine kartesische geschlossene Kategorie kontinuierlicher Domänen gibt, die unter der Konstruktion probabilistischer Machtdomänen geschlossen wird.

Mislove (2013) [2,3] gibt die Semantik für kontinuierliche Zufallsvariablen in einer Sprache erster Ordnung an, bemerkt dies jedoch

Obwohl die probabilistische Potenzdomäne das CCC von gerichteten vollständigen Posets (kurz dcpos) und Scott-kontinuierlichen Karten unveränderlich lässt, gibt es keine kartesische geschlossene Kategorie von Domänen - dcpos, die die übliche Annäherungsannahme erfüllen -, von der bekannt ist, dass sie unter invariant ist dieses Konstrukt. Das Beste, was bekannt ist, ist, dass die Kategorie der kohärenten Domänen unter der Monade der probabilistischen Wahl unveränderlich ist [4], aber diese Kategorie ist nicht kartesisch geschlossen.

Verweise

1. Regina Tix, Klaus Keimel und Gordon Plotkin (2004) "Semantische Domänen zur Kombination von Wahrscheinlichkeit und Nichtdeterminismus" .
2. Michael Mislove (2013) "Anatomie einer Domäne kontinuierlicher Zufallsvariablen I"
3. Michael Mislove (2013) "Anatomie einer Domäne kontinuierlicher Zufallsvariablen II"
4. Jung, A. und R. Tix (1998) "Die lästige probabilistische Machtdomäne"

Das Folgende ist ein erweiterter Kommentar, der Ihre Frage nicht in den von Ihnen gestellten Begriffen beantwortet, sondern eine Semantik für probabilistische Kalküle höherer Ordnung enthält, die Sie möglicherweise interessieren.

In den letzten Jahren gab es eine sehr aktive Forschungslinie zur sogenannten quantitativen Denotationssemantik der linearen Logik, basierend auf der Idee (ursprünglich aufgrund von Girard [1]), dass Programme höherer Ordnung durch Potenzreihen modelliert werden können. Im probabilistischen Fall handelt es sich um sogenannte probabilistische Kohärenzräume (PCS), die ebenfalls von Girard [2] eingeführt und von Danos und Ehrhard [3] eingehend untersucht wurden. PCS liefern Modelle sowohl typisierter als auch untypisierter Wahrscheinlichkeitssteine, die sich stark von Leistungsdomänen und anderen monadenbezogenen Modellen unterscheiden. Insbesondere geben PCS das bislang einzige bekannte vollständig abstrakte Modell probabilistischer PCF an [4], das mit Machtbereichen notorisch schwierig und scheinbar unmöglich zu erreichen ist (vgl. Die Arbeit vonJean Goubault-Larrecq ).

Abgesehen von Ehrhard wird die quantitative Semantik jetzt von Michele Pagani und seinen Mitautoren aktiv entwickelt. Ich schlage vor, dass Sie auf seiner Webseite nach weiteren Referenzen suchen.

$\lambda$

[2] Jean-Yves Girard, Zwischen Logik und Quantik: ein Traktat . In linearer Logik in der Informatik , CUP, 2004.

[3] Vincent Danos und Thomas Ehrhard, Probabilistische Kohärenzräume als Modell für probabilistische Berechnungen höherer Ordnung . Information and Computation 209 (6): 966-991, 2011.

[4] Thomas Ehrhard, Michele Pagani und Christine Tasson, Probabilistische Kohärenzräume sind für probabilistische PCF vollständig abstrakt . In Proceedings of POPL , S. 309-320, 2014.

Der folgende Kommentar ist korrekt, aber es ist wichtig, die Bedeutung von "endlichen" oder "kompakten" Elementen einer Domäne zu verstehen. Dies sind die Bezeichnungen von Objekten, die in endlicher Zeit berechenbar sind, so dass ihre Darstellung in einem semantischen Modell nicht der beweistheoretischen Bequemlichkeit dient - sie stellen die starke Verbindung zwischen dem Modell und der tatsächlichen Berechnung dar.

Nun, Misloves Zitat enthält bereits eine positive Antwort: Die Kategorie der DCOS ist kartonisch geschlossen und auch unter der probabilistischen Machtdomäne geschlossen. Es kann tatsächlich verwendet werden, um einer probabilistischen Berechnung höherer Ordnung eine Denotationssemantik zu geben. DCpos erfüllen jedoch nicht die "üblichen Approximationsannahmen", dass jedes Element in gewissem Sinne durch "finite" Elemente approximiert werden kann, wie dies bei algebraischen und kontinuierlichen cpos der Fall ist. Diese Annahmen helfen bei bestimmten Bezeichnungsargumenten, werden jedoch nicht benötigt, um eine Semantik an sich zu geben.