Gibt es einen endlichen einheitlichen Gate-Satz, der alle QFTs der Ordnung

Ich denke über Ideen zu exakten Quantenalgorithmen nach. Insbesondere betrachte ich wahrscheinliche Einschränkungen von , das aus Sprachen besteht, die durch polytime-einheitliche Quantenschaltungsfamilien über einen beliebigen endlichen Gate-Satz genau entscheidbar sind. $\mathsf{EQP}$

Die Quanten-Fourier-Transformation (QFT), gegeben durch ist ein gefeierter Teil der Quantenberechnungstheorie. Im Fall von gibt es eine bekannte Zerlegung von in Hadamards, SWAP-Gates,

F_{N} = \frac{1}{\sqrt{N}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{N - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{N - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{N - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{N - 1} & ω^{N - 2} & ω^{N - 3} & \dots & ω^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] for ω = e^{2 π i / N},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{C Z}_{2^{T}} = d i a g (1, 1, 1, e^{2 π i / 2^{T}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$ , das Coppersmith zu ist. Wenn

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$ Probleme enthalten soll, könnte man hoffen, dass einer von diesen die QFTs

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ . In diesem Fall würde man die Operationsfamilie

benötigen

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ um sich in eine bestimmte endliche Gate-Menge zu zerlegen. Unter Verwendung der rekursiven Zerlegung der QFT entspricht dies einer Zerlegung aller Gates

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$ in eine einzige endliche Gate-Menge.

Offensichtlich können wir nach dem Solovay-Kitaev-Theorem die Tore oder beliebig gut mit jedem annähernd universellen Torsatz approximieren, der unter Inversen geschlossen ist. Ich würde gerne wissen, ob es eine endliche Gate-Menge gibt, die diese Familien von Operatoren genau realisieren kann - oder, was ich eher vermute, ob es einen Beweis dafür gibt, dass es keine solche endliche Gate-Menge gibt. $F_{2^n}$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$

Frage. Gibt es entweder eine Zerlegung von als polytime-einheitliche Schaltungsfamilie auf einem endlichen Gate-Set oder einen Beweis dafür, dass dies unmöglich ist? $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$

quantum-computing circuit-families

— Niel de Beaudrap
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Nein, es gibt keine Zerlegung der gesamten Familie in eine einzige endliche Gate-Menge. Hier ist der Grund. $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

Die QFTs beinhalten nur Koeffizienten über , dem komplexen algebraischen Abschluss der rationalen Zahlen. In Analogie zu [ Adleman + Demarrais + Huang - 1997 ] könnten wir, wenn wir Tore mit transzendentalen Zahlen eine minimale Menge von Transzendentalen und die Gate-Koeffizienten beschreiben im Wesentlichen als rationale Funktionen . Um die QFT als Produkt solcher Tore zu erhalten, müssen wir dafür sorgen, dass sich alle transzendentalen Komponenten aufheben (ein ähnliches Ereignis muss auftreten, um sicherzustellen, dass jedes der Tore einheitlich ist). aber dann könnten wir genauso gut alle Transzendentalen durch ersetzen $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ , so dass alle Koeffizienten algebraisch sind. Wir beschränken uns also auf algebraische Gatesätze ohne Verlust der Allgemeinheit.

Die Koeffizienten eines endlichen Gatters, das über können alle in einer Erweiterung endlichen Grades von , die man konstruieren kann, indem man um genau diese Koeffizienten erweitert. Die Gates offensichtlich Koeffizienten, die zu Felderweiterungen über vom Grad , dh von unbegrenztem Grad. Somit zerfällt die Familie der QFTs der Ordnung nicht in eine endliche Gate-Menge. $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

Folglich können wir nicht hoffen, Algorithmen in die auf QFTs über zyklischen Ringen unbegrenzter Größe beruhen - beachten Sie, dass das gleiche Problem für jede Familie von Schaltkreisen auftritt, die QFTs beliebiger Reihenfolge verwenden könnten. $\mathsf{EQP}$

— Niel de Beaudrap
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