Sensitivity-Block-Sensitivitätsvermutung - Implikationen

Sei eine Boolesche Funktion mit der Empfindlichkeit s ( f ) und der Blockempfindlichkeit b s ( f ) .$f$$s(f)$$bs(f)$

Die Empfindlichkeit-Block - Empfindlichkeit Vermutung Vermutung besagt , dass es a , so dass ∀ f , b s ( f ) ≤ s ( f ) c .$c>0$$\forall f,\mbox{ }bs(f)\leq s(f)^c$

Was sind die Implikationen der Wahrheit und der Falschheit dieser Vermutung?

Bitte geben Sie auch Referenzen an.

Das sagt Scott Aaronson zu diesem Thema:

Was dies interessant macht, ist, dass die Blockempfindlichkeit bekanntermaßen mit einer Vielzahl anderer interessanter Komplexitätsmaße in polynomialer Beziehung steht: der Entscheidungsbaumkomplexität von , der Zertifikatskomplexität von f , der randomisierten Abfragekomplexität von f , der Quantum-Abfragekomplexität von f , der Grad von f als reales Polynom, nennen Sie es. Wenn also, wie vermutet wird, Sensitivität und Blocksensitivität polynomial zusammenhängen, dann hört Sensitivität - die wohl grundlegendste aller booleschen Funktionskomplexitätsmaße - auf, ein Ausreißer zu sein und schließt sich einer großen und glücklichen Herde an.$f$$f$$f$$f$$f$

Die Überprüfung anderer relevanter Literatur bietet keine weiteren zwingenden Implikationen:

• Nisan und Szegedy beschreiben die Frage, bieten aber überhaupt keine Motivation.
• Kenyon und Kutin erwähnen, dass dies eine "natürliche offene Frage" ist.
• Gotsman und Linial geben ein etwas ausgedachtes gleichwertiges Problem an (Vermutung 5.33 auf Seite 18 des folgenden Papiers).
• P. Hatami, Kulkarni und Pankratov bieten in ihrer umfassenden Übersicht über das Problem ebenfalls keine Motivation, haben aber mehrere äquivalente Formulierungen. Beispielsweise ist die Sensitivitätsvermutung äquivalent zu der Vermutung, dass die Komplexität der Paritätsentscheidung einer Funktion durch die Sensitivität polynomial begrenzt ist. Vermutung 5.31 auf Seite 17 ist aufgrund von Shi eine Neuformulierung, in der die Empfindlichkeit überhaupt nicht erwähnt wird.
• Ambainis, Bavarian, Gao, Mao, Sun und Zao behaupten, dass die Vermutung "aus der Theorie der Komplexitätsmaße der Booleschen Funktionen und der Komplexität des Entscheidungsbaums stammt" und im Allgemeinen dieselbe Art von Motivation bietet wie Scott Aaronson. Ihr aktueller Preprint ist das letzte Wort der Vermutung (Stand Dezember 2014).

$\Omega( \log(s(f)) )$$f$$CREW(f)$$f$

$CREW(f) = \Omega(\log s(f))$

$CREW(f)$

$CREW(f) = \Theta(\log bs(f))$

$CREW(f) = O(\log s(f))$

Ob heutzutage die Implikation der Empfindlichkeit eine genaue Charakterisierung von ergibt$CREW(f)$