Gibt es ein einfaches Spiel mit asymmetrischer Komplexität?

Betrachten Sie die vollständigen Informationen zu kombinatorischen Spielen für zwei Spieler, die nach einer Polynomanzahl von Zügen enden. Abwechselnd wählen die Spieler aus einer endlichen Anzahl zulässiger Züge. Die übliche Frage ist, wie schwierig es ist, aus einer bestimmten Position den Gewinner zu ermitteln. Eine andere wäre, wie schwierig es ist, einen Gewinnzug von einer Gewinnposition zu wählen. (Hier nenne ich einen Zug gewinnen, wenn die Position nach dem Spielen noch gewinnt.) Zur Unterscheidung werde ich die erstere POSITION-KOMPLEXITÄT und die letztere MOVE-KOMPLEXITÄT nennen.

Es ist leicht zu erkennen, dass wenn die BEWEGUNGSKOMPLEXITÄT in oder ist, auch die POSITIONSKOMPLEXITÄT - wir können die optimalen Bewegungen berechnen und prüfen, wer am Ende gewinnt. (Ich habe nicht wirklich darüber nachgedacht, was passiert, wenn die MOVE-COMPLEXITY in , wahrscheinlich ist die POSITION-COMPLEXITY in so etwas wie ) Es gibt jedoch Dummy-Beispiele, wenn die MOVE-COMPLEXITY trivial und die POSITION- ist KOMPLEXITÄT ist willkürlich schwer - wie das (nicht sehr interessante) Spiel, bei dem überprüft wird, was die Ausgabe eines Algorithmus ist, wobei die Spieler die nächsten Schritte ausführen und nur einen Zug zulassen. Ich habe ein bisschen abgeschweift, meine Hauptfrage ist die folgende. $P$ $PSPACE$ $NP$ $P^{NP}$

Gibt es ein natürliches Spiel, bei dem die BEWEGUNGSKOMPLEXITÄT der beiden Spieler unterschiedlich ist?

Zum Beispiel ist das Spiel, in dem der erste Spieler die Werte der Variablen eines CNF auswählt (der möglicherweise keine Lösung hat), während der zweite Spieler versucht, ein SOKO-BAN-Puzzle zu lösen (das möglicherweise keine Lösung hat) ein solches Beispiel.

cc.complexity-theory np board-games pspace

— domotorp
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Diese Frage gefällt mir sehr gut.

— Tayfun Pay

Ich weiß nicht, ob das QBF-Spiel Ihre Bedingung erfüllt, ein Spieler ist ein existenzieller Spieler, ein anderer ist ein universeller Spieler. Nun, viele Spiele sind in ähnlicher Form. Ich denke, wenn es keine Abhängigkeit zwischen den Spielern gibt, dann ist das Spiel kein Zwei-Spieler-Spiel, aber wenn es eine Abhängigkeit zwischen ihnen gibt, gibt es (vage gesprochen) einige Interpretationen, die dem QBF-Stil ähnlich sind.

— Saeed

Es ist eine Nebenbemerkung, aber die meisten natürlichen Spiele (in dem Sinne, wie sie in der realen Welt wie Schach gespielt werden, gehen, ...) enden nicht nach einer polynomiellen Anzahl von Zügen, sondern sind exponentiell (im schlimmsten Fall). Haben Sie einen bestimmten Grund, diese Einschränkung hinzuzufügen, außer eine Polynombeziehung zwischen BEWEGUNGSKOMPLEXITÄT und POSITIONSKOMPLEXITÄT zu erhalten?

— Denis

Vielleicht kann eine Familie von Beispielen geschaffen werden, die die Gewinnbedingungen eines der beiden Spieler lockern: zum Beispiel ein Schachspiel, bei dem Weiß mit einem Standard-Schachmatt gewinnt und Schwarz mit einem Schachmatt gewinnt oder die weiße Königin erobert. Ein anderes Beispiel kann GG mit rot-blau gefärbten Knoten sein, und einer der beiden Spieler kann nicht nur auf die übliche Weise gewinnen, sondern auch eine bestimmte Anzahl roter Knoten sammeln. Ich werde mehr über mögliche Formalisierungen ähnlicher Beispiele nachdenken.

— Marzio De Biasi

Wenn das Spiel keine Unentschieden hat (und eine vernünftig begrenzte Anzahl möglicher Züge pro Spielzug), bedeutet die folgende Tatsache, dass die Antwort "Nein" lautet? Ein Zug gewinnt genau dann, wenn keine der Antworten des Gegners darauf gewinnt.

— Usul

Antworten:

Vielleicht ist ein ziemlich natürliches Spiel das Folgende:

Spieler 1 befindet sich in der Mitte eines Labyrinths und muss den Ausgang erreichen, um zu gewinnen.

Spieler 2 befindet sich im selben Labyrinth und muss eine Reihe von "Komponenten" sammeln, um einen Funkcontroller zu bauen, mit dem er den Ausgang schließen (und gewinnen) kann.

$n$ $n$

Um das Spiel "interaktiver" zu gestalten, können wir Spieler 2 auch einige zusätzliche Aktionen hinzufügen, die nur zu einer Verlangsamung des Polynoms bei der Berechnung des nächsten Zuges für Spieler 1 führen können. Zum Beispiel erlaubt er ihm, eine feste Anzahl von Korridoren des Labyrinths zu blockieren.

— Marzio De Biasi
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$C$

Dann genügt es, einige natürliche Spiele zu betrachten, bei denen POSITION-KOMPLEXITÄT asymmetrisch ist. Wir werden immer eine gewisse Asymmetrie zwischen den Spielern brauchen , um solche Situationen zu schaffen, aber hoffentlich wird es so natürlich wie möglich sein.

$\cap$

$P_1$ $P_2$ $p(n)$ $i$ $P_i$

— Denis
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Ich würde argumentieren, dass es unwahrscheinlich ist, dass "endlich" hier "konstant" bedeutet.

— Kyle

Tatsächlich ist es in den sogenannten Picker-Chooser- oder Chooser-Picker-Spielen einfach, Beispiele zu konstruieren, für die die beste Strategie eines Spielers eine einfache Paarungsstrategie ist, während der andere einen 3-SAT auf einem zuvor angegebenen CNF lösen muss. das ist ein NP-vollständiges Problem.

Angenommen, ein Picker-Chooser-Spiel ist ein asymmetrisches Spiel auf einem Hypergraphen H = (V, E): Picker wählt zwei nicht ausgewählte Elemente von V aus, dann nimmt Chooser eines davon und gibt das andere an Picker zurück. Die Wahl gewinnt, wenn er alle Elemente eines A von E erhält. Wenn nun eine CNF-Formel F von 3-SAT gegeben wird, ist V die Menge der Literale, und E realisiert ein Gadget. Alles in allem muss Picker immer x_i anbieten und x_i in allen Schritten negieren (andernfalls verliert er sofort), während die Auswahl der Auswahl eine willkürliche 0-1-Eingabe für jedes x_i ist und er gewinnt, indem er F erfüllt.

Siehe die Details in: A. Csernenszky, R. Martin und A. Pluhár, Zur Komplexität von Auswahl-Auswahl-Positionsspielen. Ganzzahlen 11 (2011).

oder unter: http://www.inf.u-szeged.hu/~pluhar/complexity_2011.pdf

— Andras Pluhar
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