Auswirkung des Grothendieck-Programms auf TCS

Grothendieck ist verstorben . Er hatte einen massiven Einfluss auf die Mathematik des 20. Jahrhunderts, die bis ins 21. Jahrhundert andauerte. Diese Frage wird zum Beispiel in Anlehnung an Alan Turings Beiträge zur Informatik gestellt .

Was sind die wichtigsten Einflüsse von Grothendieck auf die theoretische Informatik?

Es wurde zunächst bewiesen, dass die Ungleichung von Grothendieck aus seiner Zeit in der Funktionsanalyse grundlegende Normen für Tensorprodukträume in Beziehung setzt. Grothendieck nannte die Ungleichung "den Grundsatz der metrischen Theorie der Tensorprodukträume" und veröffentlichte sie 1958 in einer bekannten Zeitung in französischer Sprache in einer brasilianischen Zeitschrift mit begrenzter Auflage. Das Papier wurde 15 Jahre lang weitgehend ignoriert, bis es von Lindenstrauß und Pelczynski wiederentdeckt wurde (nachdem Grothendieck die Funktionsanalyse verlassen hatte). Sie gaben viele Umformulierungen der Hauptergebnisse des Papiers an, bezogen sich auf die Erforschung von absolut summierenden Operatoren und Faktorisierungsnormen und stellten fest, dass Grothendieck "offene" Probleme gelöst hatte, die danach aufgeworfen worden warenDas Papier wurde veröffentlicht. Pisier geht in seiner Umfrage sehr detailliert auf die Ungleichung, ihre Varianten und ihren enormen Einfluss auf die Funktionsanalyse ein .

max { Σ i , j a i j ⟨ u i , v j ⟩ : u 1 , ... , u m , v 1 , … , v n ∈

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ S n + m - 1 R n + $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. Beweise der Ungleichung ergeben "Rundungsalgorithmen", und tatsächlich erledigt die zufällige Rundung der Hyperebene nach Goemans-Williamson die Aufgabe (ergibt jedoch eine suboptimale Konstante). Die Ungleichung von Grothendieck ist jedoch interessant, da die Analyse des Rundungsalgorithmus "global" sein muss, dh alle Terme der Zielfunktion zusammen betrachten.

Vor diesem Hintergrund sollte es nicht überraschen, dass Grothendiecks Ungleichung ein zweites (drittes? Viertes?) Leben in der Informatik gefunden hat. Khot und Naor untersuchen die vielfältigen Anwendungen und Verbindungen zur kombinatorischen Optimierung.

Die Geschichte endet nicht dort. Die Ungleichung steht im Zusammenhang mit Verletzungen der Bellschen Ungleichung in der Quantenmechanik (siehe Pisiers Artikel ), wurde von Linial und Shraibman bei der Erforschung der Kommunikationskomplexität verwendet und erwies sich sogar als nützlich bei der Erforschung privater Daten (schamloser Plug).

X ⊆ { einfach , abhängig $X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

$p$

Ich vermute, dass Mulmuleys Vision der Verallgemeinerung der Riemannschen Hypothese über endliche Felder, die aus den Weilschen Vermutungen hervorgeht, als Fragen gedeutet werden kann, die ursprünglich fruchtbare Ergebnisse aus der etalen Kohomologie von Grothendieck hatten.