Minimale Spezifikation der Martin-Löf-Typentheorie

Ich lese die formale Darstellung der Martin-Löfs-Typentheorie (Anhang des HoTT-Buches ). Die Autoren führen eine Hierarchie von Universen ein, dann und auch Typen sowie natürliche Zahlen (induktiv über und ). Schließlich fügen sie auch höhere induktive Typen hinzu. $\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$ $W$ $\mathbb N$ $0$ $succ$

Aber dann frage ich mich, warum es notwendig ist, in der theoretischen Spezifikation zu machen. Reichen und und algebraische Datentypen in der Inkarnation von Typen nicht aus, um sie einzurichten? ZB mit dem anfänglichen Algebra- Ansatz. (Oder zumindest, nachdem wir von MLTT zu HoTT übergegangen sind, haben wir induktive Typen - schließlich treten die ganzen Zahlen als Homotopiegruppe des Kreistyps innerhalb der Theorie auf.) $\mathbb N$ ${\bf 1}$ $+$ $W$ $\mathbb Z$ $\mathbb S$

Oder hat es mit unserer Notwendigkeit zu tun, von Anfang an eine primitive Rekursion zu haben, die in der Präsentation direkt neben definiert wird ? Dies ist eine Idee, die ich habe, weil ich nicht genau weiß, wie "Definition" in diesem Rahmen definiert ist oder wie die Erweiterung der Sprache formal funktioniert. Ich könnte hinzufügen, dass ich erkenne, dass zumindest ein informeller Begriff von Zahlen und "größer" bereits verwendet wird, wenn die Hierarchie der Universen definiert ist. $\mathbb N$

Falls man sparen kann und die Spezifikation nicht minimal ist, gibt es andere Gegenstände, die man im Prinzip fallen lassen könnte? ZB könnte ich mir vorstellen, dass und dann aus einer Kombination von , aber ich war nicht in der Lage, dies zu tun. $\mathbb N$ $\bf 2$ $+$ $\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

type-theory

— Nikolaj-K
quelle

Der Zweck des im Anhang des HoTT-Buches beschriebenen Systems besteht darin, etwas zu präsentieren, das dem entspricht, was im Buch verwendet wird. Das Buch soll lehrreich sein. Daher wäre es eine schlechte Idee, alles minimalistisch zu machen. Zum Beispiel führen wir separat ein, weil es anleitend ist, zu sehen, wie induktive Konstruktionen in einem vertrauten Fall funktionieren. $\mathbb{N}$

Sie haben vollkommen recht, um induktive Typen von allgemeinen Typen zu starten, brauchen Sie nur und . Sie erhalten sofort als und Sie erhalten von und . Sobald Sie das haben, erhalten Sie alle endlichen Summen . An dieser Stelle ist es einfach, die üblichen algebraischen Datentypen auszuführen. $W$ $0$ $2$ $1$ $0 \to 0$ $+$ $2$ $\Sigma$ $1 + 1 + \cdots + 1$

Wenn Sie fallen lassen und mit , , und , können Sie keine zurückerhalten, da jeder Typ, den Sie herstellen, bewohnt ist. $0$ $\Pi$ $\Sigma$ $1$ $2$ $0$

Angenommen, Sie haben nur , , und . Dann kannst du keine machen, weil du zeigen kannst, dass jede Konstruktion, die du machst, entweder oder ergibt . Tatsächlich kann man überhaupt keine interessanten abhängigen Familien gründen. Eine größere Familie von Typen, die unter , , und , aber keine enthält, sind die -Typen (Sätze). $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $0$ $1$ $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $(-1)$

— Andrej Bauer
quelle

Okay, danke für die Antwort. Ich nehme an, dass

in diesem Rahmen möglich ist, weil

per Definition von

. Obwohl diese Funktion

das sich niemals streiten wird, ist umständlich.

1 \equiv (0 \to 0)

${\bf 1}\equiv({\bf 0}\to {\bf 0})$

(λ x . x) : (0 \to 0)

$(\lambda x.x):({\bf 0}\to {\bf 0})$

Π

$\Pi$

λ x . x

$\lambda x.x$

— Nikolaj-K

Es könnte nützlich sein, hinzuzufügen, dass

Typen einige technische Vorbehalte in der Absichtstheorie enthalten: siehe z. B. Observational Equality, Now! . Einige (alle?) Fehlen, wenn das Axiom der Univalenz vorliegt.

W

$W$

— Cody

Ich habe heute wieder über diese Frage nachgedacht. Eigentlich, wenn wir von MLTT oder HOTT sprechen, haben wir auch Gleichheit für alle Typen, nehme ich an, so dass wir

und

, oder?

0

${\bf 0}$

1 =_{U} 2

${\bf 1}=_U{\bf 2}$

— Nikolaj-K

Sie könnten auf diese Weise

, aber beachten Sie, dass

sich auf ein Universum

bezieht . Und die so definierte

lebt ungeschickt im nächsten Universum.

0

$0$

1 =_{U} 2

$1 =_U 2$

U

$U$

0

$0$

— Andrej Bauer

Ich bin verwirrt von "Wenn Sie

fallen lassen , also mit

und

, können Sie keine

zurückbekommen, da jeder Typ, den Sie herstellen, bewohnt sein wird." Da es möglich ist, leere Typen in reiner Konstruktionsrechnung zu konstruieren, die nur

0

$0$

Π

$\Pi$

Σ

$\Sigma$

1

$1$

2

$2$

0

$0$

Π

$\Pi$

— user833970