Komplexität des versteckten Polygon-Puzzles auf quadratischen Gittern?

Hiroimono ist ein beliebtes vollständiges Puzzle. Ich interessiere mich für die rechnerische Komplexität eines verwandten Puzzles.$NP$

Das Problem ist:

Eingabe : Gegeben eine Menge von Punkten auf einem x n quadratischen Gitter und einer ganzen Zahl $n$$n$$k$

Frage : Gibt es ein geradliniges Polygon (dessen Seiten parallel zur oder y- Achse sind), sodass die Anzahl der Punkte an den Ecken des Polygons mindestens k beträgt ?$x$$y$$k$

Jede Ecke des Polygons muss sich an einem der Eingabepunkte befinden (Biegungen sind also nur an einem Eingabepunkt zulässig).

Was ist die Komplexität dieses Problems? Was ist die Komplexität, wenn sich die Lösung auf konvexe geradlinige Polygone beschränkt?

EDIT 13. April: Alternative Formulierung: Finden Sie ein geradliniges Polygon mit den maximalen Ecken an den angegebenen Punkten.

$\leq 3$$y$$x$

Das Knoten-Gadget ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

$[W,N,E]$$C \times C$$C$$2C$$2C+2$$C \times C - 4 + 6$$[N,E,S]$$[E,S,W]$$[S,W,N]$

$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$$x_1 \neq x_2$$y1 \neq y_2$$4 \times 3$

$E$$W$

$4 + 2C$$2e$

$n$$e$$C > (4n+2e)$$k = 2Cn$

$V$

Zweitens gibt es ein schönes Update zu dieser Arbeit von Maarten Löffler und Elena Mumford in einem Artikel, " Connected Rectilinear Graphs on Point Sets ", Journal of Computational Geometry , 2 (1), 1–15, 2011. Aus ihrer Zusammenfassung:

$V$