Kategoriale Semantik für nicht monotone Logik?

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Gibt es eine kategoriale Semantik für nicht monotone Logik?

Es scheint, dass die einfache Antwort darauf "Nein" ist, da der offensichtliche Begriff der Komposition für jedes Modell einer nicht-monotonen Logik fehlschlägt. Aber gibt es ein Modell, das tatsächlich mit einem entsprechend definierten Begriff der Komposition arbeitet?

ct.category-theory semantics denotational-semantics

— David Boshton
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Sind Sie fragen , ob jemand hat es getan, oder ob es kann getan werden? Sicher kann es getan werden, aber ich weiß nicht, ob es getan wurde. (Sie sollten die Konsequenzrelation einfach nicht als Unterobjektrelation modellieren, sondern zu einer schickeren Fibration übergehen.)

— Andrej Bauer

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Ich frage, ob es möglich ist. Haben Sie eine Referenz zu einer Beispielfibration?

— David Boshton

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Nicht-monotone Logik ist ein weites Feld - haben Sie eine bestimmte Logik im Sinn? Wie auch immer, definitiv vorausgesetzt :) das

Sie interessieren sich für jede Logik, bei der das Prinzip der Monotonie versagt, und
Sie wollen also eine kategoriale Semantik im Sinne einer kategorialen Beweistheorie (und nicht etwa eine hyperdoktrine Semantik)

Eine Antwort ist, dass Sie jeder Logik, für die ein sequentieller Kalkül mit Cut-Elimination bekannt ist, eine vernünftige kategoriale Semantik geben können. Grundsätzlich sind die Typen Objekte, normale Formen des sequentiellen Kalküls sind Morphismen, und die Eliminierung von Schnitten zeigt Ihnen, wie Sie die Komposition implementieren. Dies gibt Ihnen die erste Kategorie in jeder Kategorie von Modellen, die Sie letztendlich verwenden, um die Solidität und Vollständigkeit zu beweisen.

$A \multimap B$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $X$ $B$ ). Es hat jedoch eine ausgezeichnete Beweistheorie und seine kategorialen Modelle sind eng mit der Theorie der monoidalen Kategorien verbunden.

— Neel Krishnaswami
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Obwohl ich darüber nachdenke, habe ich keine Ahnung, wo ich effektiv anfangen soll. Was ist eine Anfangskategorie?

— David Boshton

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Wenn Sie die Richtigkeit und Vollständigkeit nachweisen, betrachten Sie eine Sammlung von Modellen und zeigen dann, dass der Kalkül genau die Folgen beweist, die in jedem Modell nachweisbar sind. Normalerweise möchten Sie Ihre Modellsammlung auch in einer Kategorie organisieren, wobei ein Morphismus zwischen Modellen ein geeigneter Begriff für den Homomorphismus von Modellen ist. Dann bedeutet das Zeigen von Solidität und Vollständigkeit im Wesentlichen, dass das Zeigen des Begriffs Modell des Kalküls das ursprüngliche Objekt in der Kategorie von Modellen ist.

— Neel Krishnaswami

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[Ich entschuldige mich dafür, dass ich dies als Antwort geschrieben habe, obwohl es im Grunde nur ein Kommentar zur vorherigen Antwort ist. Aber ich darf dort oben keinen Kommentar posten, da ich nicht genug "Ruf" habe]

Die vorherige Antwort ist nicht korrekt. Die lineare Logik (sowie jedes ihrer Unterbausysteme: MLL, MALL, MELL, ALL, was auch immer Sie wollen ...) ist perfekt monoton .

Neels Antwort verwechselt "Relevanz" und "Nicht-Monotonie".

Relevanz kann als Nicht-Monotonie des Inferenzverbinders des Systems angesehen werden . Die lineare Logik ist insofern relevant, als die Beweisbarkeit von nicht die Beweisbarkeit von impliziert . Relevanz ist eine Art innere Nicht-Monotonie der Logik. $\;\vdash A \multimap B$ $\vdash X\otimes A \multimap B$

Auf der anderen Seite werden nicht monotone Logiken als Systeme bezeichnet, bei denen die Beweisbarkeit des Systems selbst nicht monoton ist: Durch Hinzufügen eines neuen Elements zum Satz von Formeln wird der Satz von nachweisbaren Formeln geändert. Es ist eine Form der Meta- Nicht-Monotonie, weil es um Beweisbarkeit geht und nicht um den Konnektor der Folgerung. Die lineare Logik ist monoton: Sie können dem Satz von Formeln und jedem neuen Axiom oder jeder neuen Inferenzregel alles hinzufügen, was Sie wollen, aber wenn Sie zuvor einen Beweis für die Folge hatten, werden Sie es tun Habe es jetzt noch, denn du hast die anderen Inferenzregeln des sequentiellen Kalküls nicht geändert. $\;\Gamma \vdash M: A$

Soweit ich weiß, ist es schwierig, (echte) nicht-monotone Logiken in einer sequentiellen Kalkülform mit Cut-Elimination oder einer anderen Art von Beweissystem mit einem äquivalenten Begriff der Beendigung der Beweisreduktion niederzulegen. Deshalb würden die traditionellen kategorialen semantischen Ansätze für sie kaum funktionieren.

— Domenico Ruoppolo
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