Ich bin auf der Suche nach einer guten Übersicht über Algorithmen und Komplexität der linearen Algebra (Operationen wie Rang, Inverse, Eigenwerte, ... für Boolesche, und Ganzzahlen / Rationale Matrizen) mit Schwerpunkt auf Parallelität ( Hierarchie). und Polyzeitalgorithmen. Ich konnte keinen neuen finden. NC
Kennen Sie eine gute aktuelle Umfrage oder ein Buch über die Komplexität der linearen Algebra?
Antworten:
Zwei Referenzen, die Ihnen hilfreich sein könnten:
D. Bini und V. Pan. Polynom- und Matrixberechnungen, Band 1: Grundlegende Algorithmen. Fortschritte in der theoretischen Informatik, Birkhauser, 1994.
J. von zur Gathen. Parallele lineare Algebra. In J. Reif, Herausgeber, Synthesis of Parallel Algorithms, Kapitel 13. Morgan Kaufmann Publishers, Inc., 1993.
Sie sind nicht unbedingt neu, aber sie sind ein guter Ausgangspunkt.
Wie wäre es mit Komplexitätssenkung mit linearer Algebra ? Das Buch ist nicht genau das, was Sie wollen, da es Untergrenzen mit linearer Algebra untersucht und nicht die Komplexität von linearen Algebra-Problemen. Dennoch halte ich es für hilfreich, da es zunächst erforderlich ist, die Komplexität der linearen Algebraprobleme zu erfassen und dann die unteren Schranken für andere Probleme zu beweisen.
Hier ist die Beschreibung des Buches:
Während bei den Obergrenzen (Algorithmen) rasche Fortschritte erzielt wurden, sind die Fortschritte bei der Komplexität expliziter Probleme trotz intensiver Bemühungen über mehrere Jahrzehnte hinweg bei den Untergrenzen gering geblieben. Wie es bei typischen Unmöglichkeitsergebnissen selbstverständlich ist, sind Fragen mit niedrigeren Schranken schwierige mathematische Probleme und werden daher wahrscheinlich nicht durch Ad-hoc-Angriffe gelöst. Stattdessen sind Techniken erforderlich, die auf mathematischen Begriffen basieren und die Komplexität der Berechnungen erfassen. Komplexität unterer Schranken unter Verwendung der linearen Algebra untersucht verschiedene Techniken zum Nachweis der unteren Schranken in Boolescher, algebraischer und Kommunikationskomplexität auf der Grundlage bestimmter linearer algebraischer Ansätze. Das gemeinsame Thema dieser Ansätze ist die Untersuchung von Robustheitsmaßen des Matrix-Rangesdie die Komplexität in einem gegebenen Modell erfassen. Entsprechend starke Untergrenzen für solche Robustheitsfunktionen expliziter Matrizen führen zu wichtigen Konsequenzen in den entsprechenden Schaltungs- oder Kommunikationsmodellen. Das Verständnis der inhärenten rechnerischen Komplexität von Problemen ist für die Mathematik und die theoretische Informatik von grundlegender Bedeutung. Komplexitätsreduzierung mit linearer Algebra ist eine unschätzbare Referenz für alle, die auf diesem Gebiet arbeiten.
PS: Sie haben nach einem Buch gefragt, aber ich glaube, dieser Artikel: Die rechnerische Komplexität einiger Probleme der linearen Algebra ist ebenfalls nützlich (stammt jedoch aus dem Jahr 1999).
In diesem Buch werden parallele Algorithmen nicht explizit erwähnt, aber Yaps Buch "Grundlegende Probleme der algorithmischen Algebra" ist eine sehr gute Referenz und erörtert die Komplexität vieler linearer Algebra-Fragen. Es gibt ein spezielles Kapitel über lineare Systeme , in dem unter anderem die Zeit / Bit-Komplexität der Determinantenberechnung, Matrixinversion und Hermite-Normalformalgorithmen behandelt werden.
Das Buch befasst sich auch mit der Komplexität der Multiplikation, Grobner-Basen und Gitterreduktionstechniken (wie LLL). Ich kann es nicht genug empfehlen und ich wette, Sie werden darin etwas Wertvolles finden.