Eigenschaftsprüfung in anderen Metriken?

Es gibt eine große Literatur über „Eigenschaft Test“ - das Problem der eine kleine Anzahl von Black - Box - Anfragen an eine Funktion zu machen zwischen zwei Fälle zu unterscheiden:$f\colon\{0,1\}^n \to R$

1. ist ein Mitglied einer Funktionsklasse$f$$\mathcal{C}$

2. ist ε -Far von jeder Funktion inKlasse C .$f$$\varepsilon$$\mathcal{C}$

Der Bereich der Funktion ist manchmal boolesch: R = { 0 , 1 } , aber nicht immer.$R$$R = \{0,1\}$

Hier wird epsi ; -far allgemein als Hamming-Abstand verstanden: der Bruchteil von Punkten von f , der geändert werden müsste, um f in die Klasse C einzuordnen . Dies ist eine natürliche Metrik, wenn f einen Booleschen Bereich hat, sie erscheint jedoch weniger natürlich, wenn der Bereich als reell bezeichnet wird.$\varepsilon$$f$$f$$\mathcal{C}$$f$

Meine Frage: Gibt es in der Literatur zu Eigenschaftstests einen Strang, der die Nähe zu einer Klasse in Bezug auf andere Metriken prüft ?$\mathcal{C}$

Ja da ist! Ich werde drei Beispiele geben:

1. Betrachten Sie bei einer Menge S und einer "Multiplikationstabelle" über S x S das Problem, zu bestimmen, ob die Eingabe eine abelsche Gruppe beschreibt oder nicht. Friedl, Ivanyos und Santha in STOC '05 haben gezeigt, dass es einen Eigenschaftstester mit Abfragekomplexitäts- Polylog (| S |) gibt, wenn sich das Abstandsmaß auf den Bearbeitungsabstand von Multiplikationstabellen bezieht, der das Hinzufügen und Löschen von Zeilen und Spalten von ermöglicht die Multiplikationstabelle. Dasselbe Problem wurde auch im Hamming-Distanzmodell von Ergun, Kannan, Kumar, Rubinfeld und Viswanathan (JCSS '00) berücksichtigt, wo sie die Abfragekomplexität von O ~ (| S | ^ {3/2}) zeigten.

2. Das Testen von Diagrammeigenschaften, bei denen die Diagramme mithilfe von Adjazenzlisten dargestellt werden, ist sehr aufwändig und es gibt eine Grenze für den Grad jedes Scheitelpunkts. In diesem Fall ist das Distanzmodell nicht genau die Hamming-Distanz, sondern die Anzahl der Kanten, die hinzugefügt oder gelöscht werden können, wobei der Grad der Bindung erhalten bleibt.

3. In der eng verwandten Untersuchung der Testeigenschaften von Verteilungen wurden verschiedene Vorstellungen des Abstands zwischen Verteilungen untersucht. In diesem Modell ist die Eingabe eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Menge, und der Algorithmus erhält durch Abtasten aus der Menge gemäß der unbekannten Verteilung Zugriff darauf. Der Algorithmus muss dann bestimmen, ob die Verteilung eine Eigenschaft erfüllt oder "weit davon entfernt" ist. Hier wurden verschiedene Vorstellungen von Entfernungen untersucht, z. B. L_1, L_2, Erdbewegungsmaschine. Hier wurden auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen über unendliche Domänen untersucht ( Adamaszek-Czumaj-Sohler, SODA '10 ).

Es wird normalerweise nicht als Eigenschaftstest bezeichnet (und das ist es auch nicht), aber es gibt eine große Menge an Arbeit, um die Eigenschaften einer Matrix anhand eines kleinen induzierten Minors zu bestimmen. Dies ist dem Ziel beim Testen von Eigenschaften sehr ähnlich. Siehe zum Beispiel das Papier von Rudelson und Vershynin:

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1255449

Es gibt frühere Arbeiten von Frieze-Kannan. Der Punkt ist, dass die von ihnen verwendete Metrik typischerweise eine Matrixnorm wie eine Spektralnorm, eine Frobeniusnorm oder eine Schnittnorm ist. Wenn Sie möchten, können Sie sich einige dieser Ergebnisse als Algorithmen zum Testen von Eigenschaften in einer anderen Metrik als der Hamming-Distanz vorstellen.

$f\colon [n]^d\to \mathbb{R}$$L_p$$p\geq 1$$L_p$

$L_p$

$L_1$$L_1$$L_1$$n$$1$

$L_p$

[2] $k$