Komplexität des Coset-Schnittpunktproblems

Wenn die Symmetriegruppe und zwei Untergruppen G , H ≤ S n und π ∈ S n gegeben sind , gilt G π ∩ H = ∅ ?$S_n$$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

Soweit ich weiß, ist das Problem als Coset-Schnittpunkt-Problem bekannt. Ich frage mich, was ist die Komplexität? Ist dieses Problem insbesondere bei coAM bekannt?

Wenn auf abelsch beschränkt ist, wie groß wird dann die Komplexität?$H$

Mäßig exponentielle Zeit und (für das Gegenteil des angegebenen Problems gilt: Die Coset-Schnittmenge wird normalerweise als mit "Ja" beantwortet, wenn sich die Cosets überschneiden, im Gegensatz zur Angabe in der OQ.)$\mathsf{coAM}$

Luks 1999 ( freie Autorenkopie ) gab einen -Zeit-Algorithmus an, während Babai (siehe seine Dissertation von 1983, auch Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 , und eine erscheinende Zeitschriftenversion) eine 2 gab ˜ O ( $2^{O(n)}$-Zeitalgorithmus, der bis heute der bekannteste bleibt. Da Graphisomorphie zu quadratischem großen coset Schnitt reduziert, verbessertdies zu2 ~ O (n 1 / 4 - ε )würde den Stand der Technik für Graphisomorphie verbessern.$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

Betrachten wir die Ergänzung, also dort , wo Sie zu Test gefragt werden , ob . Wie ich in darauf hingewiesen , diese Antwort , Testen , ob g & egr ; ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ heißt in NC ⊆ P [1]. Sie können also g , h ∈ S n erraten und in polynomialer Zeit testen, ob g ∈ G , h ∈ H und g π = h sind . Dies ergibt einen $G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$Obere Schranke und daher liegt Ihr Problem in .$\text{coNP}$

Edit : Es wird in [2, Thm. 15] , dass das coset Kreuzungsproblem ist in . Wie hier angemerkt , p. In 7 ist das Coset-Schnittproblem daher nicht NP-vollständig, es sei denn, die Polynomzeithierarchie bricht zusammen. Im Übrigen wird hier vermerkt , p. 6, dass es von Luks gezeigt wurde, dass das Problem in P liegt, wenn H lösbar ist, was den Fall von H abelian einschließt .$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  L. Babai, EM Luks & amp; A. Seress. Permutationsgruppen in NC . Proc. 19. jährliches ACM-Symposium über Computertheorie, S. 409-420, 1987.

[2] L. Babai, S. Moran. Arthur-Merlin-Spiele: Ein randomisiertes Beweissystem und eine Hierarchie von Komplexitätsklassen . Journal of Computer and System Sciences, vol. 36, Heft 2, S. 254-276, 1988.