Komplexität von Permutationsproblemen

Bei einer Gruppe $G$ von Permutationen auf $[n]=\{1, \cdots, n\}$ und zwei Vektoren $u,v\in \Gamma^n$ wobei $\Gamma$ ein endliches Alphabet ist, das hier nicht ganz relevant ist, ist die Frage, ob es etwas $\pi\in G$ , so dass $\pi(u)=v$ wo $\pi(u)$ Mittel , um die Permutation Anwendung $\pi$ auf $u$ in einer erwarteten Weise.

Nehmen wir weiter an, dass als Eingabe durch eine endliche Menge S von Generatoren gegeben ist. Was ist die Komplexität des Problems? Insbesondere ist es in NP?$G$$S$

Sei wobei S n die Permutationsgruppe auf n Elementen ist. Testen , ob g & egr ; ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ kann getan werden , NC ⊆ P von [1]. Sei u , v ∈ Γ n , dann rate einfach g ∈ S n , teste in Polynomzeit, ob g ∈ $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$$S_n$$n$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$u, v \in \Gamma^n$$g \in S_n$$g \in G$und ob . Dies ergibt eine NP- Obergrenze.$g(u) = v$$\text{NP}$

Um diese Antwort zu ergänzen:

Es wurde gezeigt, dass die Gruppenzugehörigkeit zu (Furst et al. 1980), dann zu NC 3 für abelsche Gruppen (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), zu NC für nicht potente Gruppen (Luks & McKenzie 1988), lösbare Gruppen (Luks & McKenzie 1988), Gruppen mit gebundenen nicht-abelschen Zusammensetzungsfaktoren (Luks 1986) und schließlich alle Gruppen (Babai et al. 1987). Eine ähnliche Komplexitätsklassifizierung der Zugehörigkeit zu aperiodischen Monoiden ist (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977) zu verdanken, die zeigen, dass die Zugehörigkeit zu einer festen aperiodischen Monoidsorte entweder in AC 0 , in P , in NP oder in $\text{P}$$\text{NC}^3$$\text{NC}$$\text{AC}^0$$\text{P}$$\text{NP}$$\text{PSPACE}$ (und komplett für diese Klasse mit sehr wenigen Ausnahmen).

[1] L. Babai, EM Luks & amp; A. Seress. Permutationsgruppen in NC. Proc. jährliches ACM Symposium zur Theorie der Berechnung, S.. 409-420, 1987.$19^\text{th}$

Ihr Problem ist als ( -) String G- Isomorphismus bekannt. Es ist in einer ziemlich engen Klasse von Problemen rund um Graphisomorphie: es ist mindestens so hart wie GI, und ist in N P ∩ c o A M .$\Gamma$$G$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

Reduktion von GI: sei , und lassenG≤SNdie induzierte Wirkung seinerSnauf Paare.$N = \binom{n}{2}$$G \leq S_N$$S_n$

Protokoll: Arthur wählt ein Element von G nach dem Zufallsprinzip aus(ich bin nicht sicher, ob dies genau gleichförmig erfolgen kann, aber ich denke, die bekannten Algorithmen werden für dieses Ergebnis nahe genug an die Gleichförmigkeit heran) und wendet es sowohl auf u als auch auf v an . Mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 tauscht er u und v , präsentiert sie dann Merlin und fragt, welches was war.$\mathsf{coAM}$$G$$u$$v$$u$$v$

Trotz meiner Kommentare werde ich auch eine Antwort hinzufügen.

In dem Fall ist bekannt, dass die zwei gegebenen Vectros eine Permutation voneinander sind (und die Permutation ist bekannt / wird in der gegebenen Gruppe ). Dann kann die Permutation, die v → u transformiert , in linearer Zeit als solche gefunden werden:$G$$v \to u$

1. Richten Sie die 2 Vektoren untereinander aus

2. Die Permutation wird ausgehend vom 1. Element von das in das 1. Element von u transformiert wird$v$$u$

3. Holen Sie sich die Position des Elements im vorherigen Schritt (von nach v ) und wiederholen Sie Schritt (2), dann ist dies das 2. Element der Permutation und so weiter, bis alle Elemente durchlaufen sind.$u$$v$

Wenn nicht bekannt ist, ob die beiden Vektoren die Permutation des anderen positiv beeinflussen (oder in allgemeineren Fällen, in denen es zu mehreren Transformationen kommen kann, wie zum Beispiel bei einem Sudoku-Spiel), überprüfen Sie die andere Lösungsproblem, das im Allgemeinen NP-schwer ist. Dies erfordert die Verwendung einiger Symmetrietransformationen (z. B. Permutationen), die die Bedingungen eines gegebenen Problems erfüllen, um eine andere Lösung des Problems zu erzeugen, wenn eine anfängliche Lösung gegeben ist.

Außerdem ist dies ein Teil der Probleme, die als Inverse Probleme (a-la-Jaynes) bekannt sind.