Verwirrung über Vertex-Zählscheitelpunktabdeckungen zu Zählzyklusabdeckungen

Das verwirrt mich.

Ein einfacher Fall des Zählens ist, wenn das Entscheidungsproblem in und es keine Lösungen gibt. $P$

Eine Vorlesung zeigt, dass das Problem des Zählens der Anzahl perfekter Übereinstimmungen in einem zweigeteilten Graphen (äquivalent das Zählen der Anzahl von Zyklusabdeckungen in einem gerichteten Graphen) #P-vollständig ist. $\#P$

Sie reduzieren das Zählen von Scheitelpunktabdeckungen der Größe auf das Zählen von Zyklusabdeckungen in einem Digraphen unter Verwendung von Gadgets. $k$

Satz 27.1 Die Anzahl der guten Zyklusabdeckungen in beträgt mal die Anzahl der Scheitelpunktabdeckungen von der Größe . $H$ $(k!)^2$ $G$ $k$

Mit Gadget verlassen sie nur die "guten" Zyklen.

Mein Verständnis der Vorlesung ist, dass keine Scheitelpunktabdeckung der Größe wenn der transformierte Digraph keine Zyklusabdeckung hat. Die Überprüfung, ob eine Zyklusabdeckung hat, kann in Polynomzeit erfolgen, was impliziert, da wir das Entscheidungsproblem in eine Lösungsfindung umwandeln können. $G$ $k$ $G'$ $G'$ $P=NP$

Was missverstehe ich?

Die Permanente der Adjazenzmatrix der Digraphenzählzyklen deckt den Zyklus ab und ist #P-vollständig. $\#P$

Das Entscheidungsproblem "Ist die Permanente der (0,1) Matrix Null" liegt in P, da das Finden der Zyklusabdeckung in . $P$

$P \ne NP$ impliziert, dass es keine Reduzierung des Zählens von vollständigen Problemen auf das Zählen von -permanenten gibt, das abbildet . $NP$ $(0,1)$ $0 \mapsto 0$

Verwandte MO-Frage bearbeiten

Hinzugefügt

Markus Bläser weist darauf hin, dass schlechte Zyklen immer noch "da" sind, aber die Summe ihrer Gewichte verschwindet.

Mir scheint, das Gewicht eines schlechten Zyklus in einem Widget ist Null.

Ab Seite 148 (11 des PDF):

Die vollständige Adjazenzmatrix B mit Submatrizen A, die diesen Widgets mit vier Knoten entsprechen, zählt 1 für jede gute Zyklusabdeckung in H und 0 für jede schlechte Zyklusabdeckung

Eine andere Frage:

Würde die maximale Gewichtszyklusabdeckung nicht nur die guten Zyklen enthalten, die einer Scheitelpunktabdeckung im Originaldiagramm entsprechen? $k$

In CC muss sich jeder Scheitelpunkt in genau einem Zyklus befinden.

cc.complexity-theory graph-theory

— joro
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Sie haben nicht nur gute Zyklen hinterlassen. In ihrem Zählargument haben sie das Zählen von schlechten Zyklen eliminiert. Das Problem ist, dass Sie # gute Zyklusabdeckungen zählen müssen. Wenn Sie also eine Fahrradabdeckung finden, die keine gute Fahrradabdeckung ist, können Sie keine k-Vertex-Abdeckung erhalten. Aber wenn Sie ja eine gute Zyklusabdeckung finden, hat der Graph k-VC. Dies verletzt nichts.

— Saeed

@Saeed beseitigt einen schlechten Zyklus nicht gleichbedeutend damit, nur gut zu zählen? Ich sehe nicht ein, wie es möglich ist, dass G 'eine Zyklusabdeckung hat, wenn G keine VC der Größe .

k

$k$

— Joro

@Saeed Zählen sie nicht alle Zyklusabdeckungen im transformierten G '?

— Joro

Die Verkleinerung weist den Kanten Gewichte zu. Schlechte Zyklusabdeckungen können ein positives oder negatives Gewicht haben, dort ist der Gesamtbeitrag Null. Diese Zyklen sind jedoch immer noch "vorhanden" und werden möglicherweise von einem Algorithmus zur Erkennung der Zyklusabdeckung gefunden. In diesem Fall wissen Sie nicht, ob eine gute Zyklusabdeckung vorhanden ist oder nicht.

— Markus Bläser

@ MarkusBläser Danke, das macht Sinn :). Warum keine Antwort?

— Joro

Das Missverständnis sieht so aus:

Bei der endgültigen Reduktion auf (0,1) -permanent verwenden sie modulare Arithmetik, was meine Argumentation bricht.

Sei die ursprüngliche Matrix und die (0,1) Matrix. $A$ $B$

Wenn Sie modulo , kann es vorkommen, dass und perm . $n$ $perm(A)=0$ $perm(B)=mn$

Obwohl Gleichheit Modulo , ist $n$ $B$ Zyklusabdeckungen.

Ich habe den Fehler in der Frage nach der maximal gewichteten Fahrradabdeckung nicht gefunden, die von den oben genannten Punkten anscheinend nicht betroffen ist.

— joro
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