Nein, selbst wenn es eine endliche Anzahl von realisierbaren Rang-1-Matrizen gibt, muss der realisierbare Bereich eines SDP nicht polyedrisch sein.
Ein Spektraeder, das Sie in Anwendungen ständig sehen, ist , dh die Menge der Gram-Matrizen von n Einheitsvektoren. Dies ist beispielsweise die realisierbare Region für die Goemans-Williamson SDP-Relaxation für MaxCut. Es kann nicht mehr als 2 n Rang-1-Matrizen in S n geben , da x x T ∈ S n x 2 i = impliziertS.n= { X.: X.⪰ 0 , X.11= … = X.n n= 1 }n2nS.nx xT.∈ S.n für alle i und damit x ∈ { - 1 , 1 } n .x2ich= 1ichx ∈ { - 1 , 1 }n
Schauen wir uns nun . SchreibenS.3
X.= ⎛⎝⎜1xyx1zyz1⎞⎠⎟
Nach Sylvesters Kriterium ist genau dann, wenn alle Hauptminderjährigen nicht negativ sind. Dies ergibt die folgenden Ungleichungen:
x 2 , y 2 , z 2X.⪰ 0
Die ersten drei Ungleichungen kommen von den Minderjährigen 2-by-2schreiben, und der letzte kommt von der Determinante des SchreibensX.
x2, y2, z2x2+ y2+z2≤1≤1+2xyz
X
Es ist jetzt leicht zu erkennen, dass dieses Set nicht polyedrisch ist. Zum Beispiel sei die Menge die Projektion von S 3 auf die freien Variablen x , y , z und betrachte U = T ∩ { ( x , y , z ) : z = 0 } . Polyedrische Mengen bleiben nach orthogonaler Projektion und Schnittpunkt mit Halbräumen polyedrisch. Wenn also S 3 polyedrisch ist, ist auch U polyedrisch . Aber U = { ( x , yTS3x,y,zU.= T.∩ { ( x , y, z) : z= 0 }S.3U. ist eine Scheibe.U.= { ( x , y, 0 ) : x2+ y2≤ 1 }
Tatsächlich gibt es auch ein direktes geometrisches Argument, dass eine Scheibe ist. Wenn X die Gram - Matrix der Vektoren u , v , w , dann Einstellen z = 0 Mittel v ⊥ w , und ( x , y ) sind die Koordinaten der Projektion der U auf die Ebene , die durch aufgespannten v und w , ausgedrückt in die orthonormale Basis gegeben durch v und w . Da u ein beliebiger Einheitsvektor sein kann, ( x , yU.X.u , v , wz= 0v ⊥ w( x , y)uvwvwu kann höchstens ein beliebiger Längenvektor sein 1 .(x , y)1
Zur Veranschaulichung ist hier die Menge :
T.
Und hier können Sie sehen, dass eine Scheibe ist:U.