Interaktive Beweise für Ebenen der Polynomhierarchie

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Wir wissen, dass ein PSPACE-Rechner leistungsfähig genug ist, um interaktive Beweise für alle Ebenen der Polynom-Hierarchie zu liefern. (Und wenn ich mich recht erinnere, ist alles, was Sie brauchen, #P.) Angenommen, Sie möchten einen interaktiven Mitgliedsnachweis in einer Sprache vorlegen . Reicht es aus, Probleme in lösen zu können ? Reicht es aus, Probleme in lösen ? Allgemeiner gesagt , können , wenn Sie lösen oder Probleme, für das, was dies ausreicht, interaktive Beweise aller languates in erzeugen ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

Diese Frage wurde von dieser Frage inspiriert .

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Peter Shor
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Interessieren Sie sich nur für den Fall eines einzelnen Prüfers oder für den Fall mehrerer Prüfer? Es scheint mir, dass der offensichtliche Weg, dies anzugreifen, über PCPs wäre, was für zwei Prüfer einfach sein könnte, aber für einen einzelnen Prüfer wahrscheinlich nicht funktioniert.

— Joe Fitzsimons

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Ich würde mich für beide Fälle interessieren. Ich habe mich eine ganze Weile über diese Frage für einzelne Prüfer Gedanken gemacht, aber überhaupt nicht über mehrere Prüfer nachgedacht.

— Peter Shor

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@Peter: Wenn Sie sich das IP = PSPACE-Papier ansehen, scheint es so, als würde der Beweis mit

(was für

vollständig ist ) und nicht mit QBF durchgeführt, vorausgesetzt, Sie haben einen Beweiser, der ausreicht, um die sich ergebenden Polynomidentitäten zu berechnen die Arithmitisierung des

. Vermisse ich etwas?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons

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@ Joe, ich habe diese Idee nicht berücksichtigt; es könnte funktionieren.

— Peter Shor

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Joe, vielleicht solltest du es als Antwort posten

— Suresh Venkat

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Sogar für die Angabe einer IP für coNP unter Verwendung aktueller Techniken muss arithmetisiert werden, dh es muss gezählt werden, was im Wesentlichen die volle Leistung von #P bedeutet. Ich denke, jeder schwächere Prüfer selbst für coNP wäre sehr interessant (insbesondere würde dies eine neue nicht-relative Technik implizieren).

— Noam
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@ Peter: Noam ist richtig. Ich zitiere die folgenden Zeilen von hier : ... Wenn das kollisionssichere Hashing auf der Worst-Case-Härte von NP durch eine Black-Box-Reduktion basiert, impliziert dies ein interaktives Beweissystem für co-NP mit dem Beweiser in BPP ^ NP ... Alles bekannt (auch Multi-Prover) Proof-Systeme für Co-NP erfordern Prüfer mit #P Komplexität ...

— MS Dousti

In diesem Fall ist meine Antwort höchstwahrscheinlich Unsinn. Vielen Dank für den Hinweis.

— Joe Fitzsimons

Tatsächlich ist dies wirklich interessant, da ein interaktiver Beweis für den Nicht-Isomorphismus von Graphen nur einen Beweiser mit einem Orakel für dieses Problem benötigt. Es scheint ein Beweis dafür zu sein, dass entweder der GI sehr sehr schwach ist (wie in P) oder die Grenzen für interaktive Beweise der Ebenen der Polynomhierarchie sehr locker sind.

— Joe Fitzsimons

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Ich gehe davon aus, dass es nicht bekannt ist, dass mehrere Prüfer helfen. Ist das richtig?

— Peter Shor

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N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

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Dies ist ein bekanntes (wunderbares) offenes Problem, an dem ich von Zeit zu Zeit ohne Erfolg gearbeitet habe.

Avi Wigderson und ich haben das Problem in unserem Algebrisierungspapier erwähnt , in dem wir die Frage aufgeworfen haben, ob Inhaltsstoffe wie coNP ⊆ IP _NP mithilfe von Algebrisierungstechniken nachgewiesen werden können. (Hier bezeichnet IP _NP IP mit einem BPP-Verifizierer und einem BPP- ^NP- Beweiser .) Wenn (wie ich vermute) die Antwort nein ist, dann würde dies einen formalen Grund liefern, warum ein interaktives Protokoll wie das, das Peter verlangt, eine Nicht-Relativierung erfordern würde Techniken, die "grundlegend über" die für IP = PSPACE verwendeten Techniken hinausgehen.

Eine analoge Frage ist, ob BQP = IP _BQP ist oder nicht , wobei IP _BQP IP mit einem BPP-Verifizierer und einem BQP-Beweis (Quantenpolynom-Zeit) bedeutet. Diese Frage ist auch offen - obwohl ein kürzlicher Durchbruch von Broadbent, Fitzsimons und Kashefi gezeigt hat, dass eine eng verwandte Aussage zutrifft.

— Scott Aaronson
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Ja, die Frage, ob coNP einen interaktiven Beweis hat, bei dem der Prüfer schwächer ist als #P (z. B. Polytime mit Zugang zu NP oracle), ist eine allgemein bekannte offene Frage. Das folgende kürzlich erschienene Papier von Haitner, Mahmoody und Xiao diskutiert diese Frage und zeigt einige Konsequenzen der Annahme, dass dies nicht möglich ist.

— Boaz Barak
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Da Suresh vorgeschlagen hat, meinen Kommentar als Antwort zu posten, werde ich es tun. Ich halte dies jedoch nicht für eine vollständige Antwort, da ich nicht versucht habe, dies zu beweisen, und es könnte sich als Sackgasse herausstellen.

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— Joe Fitzsimons
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Das Problem taucht bereits im Beweis für coNP auf. Das Summencheck-Protokoll hat n Runden (eine für jede Variable). In jeder Runde muss der Prüfer die Koeffizienten des Polynoms ermitteln, die durch eine exponentiell große Summe erhalten werden. Ich weiß nicht, wie ich es mit weniger Strom als #P machen soll.

— Boaz Barak

@ Boaz: Ja, ich denke, dieser Ansatz ist zum Scheitern verurteilt. Ich dachte, ich hätte eine Version der Arithmetisierung gesehen, die irgendwo so durchgeführt wurde, dass das Polynom nur die Werte 1 oder 0 für Eingaben von 0s und 1s annahm. Wenn dies der Fall ist, könnten Sie anscheinend ein Orakel für ein entsprechendes Entscheidungsproblem verwenden. Andererseits habe ich mir das vielleicht nur eingebildet!

— Joe Fitzsimons