Enge Untergrenzen für Savitch's Theorem

Zunächst entschuldige ich mich im Voraus für jede Dummheit. Ich bin kein Experte für Komplexitätstheorie (ganz im Gegenteil! Ich bin ein Student, der meinen ersten Kurs in Komplexitätstheorie belegt). Hier ist meine Frage. Nun besagt der Satz von Savitch, dass Nun bin ich gespannt, ob diese untere Schranke eng war, dh das ist etwas in der Richtung von ist nicht erreichbar.

Anscheinend sollte hier ein einfaches kombinatorisches Argument angegeben werden - jeder Knoten im Konfigurationsdiagramm für eine deterministische Turing-Maschine hat nur eine ausgehende Flanke, während jeder Knoten im Konfigurationsdiagramm für eine nicht deterministische Turing-Maschine mehr haben kann als eine ausgehende Kante. Der Algorithmus von Savitch konvertiert Konfigurationsdiagramme mit einer beliebigen Anzahl ausgehender Kanten in Konfigurationsdiagramme mit ausgehenden Kanten.$<2$

Da der Konfigurationsgraph ein eindeutiges TM definiert (nicht sicher), ist die kombinatorische Größe des letzteren mit ziemlicher Sicherheit größer als die des ersteren. Dieser "Unterschied" ist vielleicht ein Faktor von , vielleicht weniger - ich weiß es nicht. Natürlich gibt es viele kleine technische Probleme zu lösen, wie zum Beispiel, wie Sie sicherstellen müssen, dass es keine Schleifen usw. gibt, aber meine Frage ist, ob dies ein vernünftiger Weg ist, um damit zu beginnen, so etwas zu beweisen. $n^2$

Dies ist eine bekannte offene Frage. Sie werden in der Komplexitätstheorie viele offene Fragen sehen, für die Sie sich fragen würden, warum es niemand geschafft hat, sie zu lösen. Ein Grund dafür ist, dass wir neue Leute wie Sie brauchen, die uns helfen, sie zu lösen :)

Informationen zu den neuesten Ergebnissen in diesem Bereich, die zeigen, dass der Savitch-Algorithmus in einigen eingeschränkten Modellen optimal ist, finden Sie in der FOCS-Veröffentlichung von Aaron Potechin .

Insbesondere geht er von der netten Beobachtung aus, dass, da der Konfigurationsgraph eines deterministischen TM nur eine ausgehende Flanke hat (nachdem die Eingabe fixiert wurde), man ihn als ungerichteten Graphen betrachten kann, und die Frage ungefähr wie folgt lautet: Gegeben ein gerichteter Graph von Ecken mit zwei speziellen Ecken , wenn wir ihn einem ungerichteten Graphen mit Ecken (auch mit speziellen Ecken ) zuordnen, von dem die Existenz jeder Kante in abhängt eine Kante in und es gibt einen Pfad von nach in wenn es einen Pfad zwischen gibt$G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$$G'$$G$$s$$t$$G$$s'$ und in$t'$$G'$ , wie viel größer von n sein muss .$N$$n$

Um zu zeigen, dass der Savitch-Algorithmus optimal ist, muss gezeigt werden, dass mindestens 2 Ω ( log 2 n ) = n Ω ( log n ) sein muss . Um zu zeigen , L ≠ N L , genügt es , die schwächer zu zeigen , gebunden , dass N > n c für jeden Konstante c . Ich bin mir ziemlich sicher, dass auch N > n 10 nicht bekannt ist, obwohl vielleicht etwas wie N ≥ n 2 aus einigen nicht so interessanten Gründen bekannt ist.$N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$$L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

Ich denke, wir wissen nicht, ob das eng ist. Sonst würden wir wissen , dass .$L \neq NL$