Gibt es lokale Maxima in der Anzahl der Züge, die erforderlich sind, um einen Zauberwürfel zu lösen?

Peter Shor brachte einen interessanten Punkt im Zusammenhang mit dem Versuch zur Beantwortung einer früheren Frage zur Komplexität der Lösung des Rubiks-Würfels . Ich hatte einen ziemlich naiven Versuch gepostet zu zeigen, dass es in NP enthalten sein muss. Wie Peter betonte, schlägt mein Ansatz in einigen Fällen fehl. Ein möglicher Fall eines solchen Falles besteht darin, dass in der Pfadlänge ein lokales Maximum existiert. Damit meine ich, dass es möglicherweise Züge , um den Würfel aus Konfiguration zu lösen , und entweder oder Züge, um den Würfel aus jeder Position zu lösen, die in einem Zug von . Nun, das ist nicht unbedingt ein solches Problem, wenn $n \times n \times n$ $S_A$ $A$ $S_A$ $S_A - 1$ $A$ $S_A$ ist die maximale Anzahl von Zügen, die erforderlich sind, um den Würfel im Allgemeinen zu lösen ( Gottes Nummer für diesen Würfel), ist jedoch definitiv ein Problem, wenn streng unter Gottes Nummer für diesen Würfel liegt. Meine Frage ist also, ob es solche lokalen Maxima gibt. Sogar eine Antwort für den Würfel würde mich interessieren. $S_A$ $3 \times 3 \times 3$

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— Joe Fitzsimons
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Obwohl ich kein Beispiel habe, wäre ich überrascht, wenn es kein Beispiel gibt, denn das scheint zu implizieren, dass wir Gottes Zahl berechnen können, indem wir nur eine Konfiguration finden, die ein lokales Maximum darstellt (dies ist jedoch kein strenges Argument).

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Ah, aber es war vielleicht nicht bekannt, ob es lokale Maxima gab oder nicht, bis Gottes Zahl berechnet wurde! Aber ich stimme darin überein, dass ich erwarte, dass diese lokalen Maxima existieren. Ich weiß es einfach nicht genau und würde es gerne herausfinden.

— Joe Fitzsimons

@Joe: Ja, genau das ist es, was an meinem Argument nicht streng ist. Ich wäre rigoroser überrascht :), wenn es möglich ist, zu beweisen, dass es keine lokalen Maxima gibt, ohne die erschöpfende Suche durchzuführen.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Es scheint, dass lokale Maxima nicht für sehr kurze Weglängen auftreten können und wahrscheinlich nur in der Nähe von Gottes Zahl existieren, weshalb ich denke, dass es nicht so eindeutig ist, dass sie existieren.

— Joe Fitzsimons

Ich weiß, dass Cayley-Graphen für beliebige Gruppen lokale Maxima haben können. Ich habe vergessen, wo ich dieses Ergebnis gesehen habe, aber ich bin sicher, dass ich es irgendwo gesehen habe. Wenn die Würfelgruppe des Rubiks also nicht irgendwie speziell ist, erwartet man, dass es auch lokale Maxima gibt.

— Peter Shor

Antworten:

Wenn Sie Tomas Rokicki diese Frage stellen, erhalten Sie sofort die richtige Antwort ("Ja, es gibt lokale Maxima"):

Wenn eine Position eine vollständige Symmetrie aufweist, ist zwingend ein lokales Maximum erforderlich (alle außer dem Start). Ein kleiner Gedanke sollte verdeutlichen, warum dies bei der QTM [Vierteldrehungsmetrik] der Fall ist. Für die HTM ist es etwas subtiler, aber nicht zu schlecht.

...

Eine solche Position ist pons asinorum, dh Abstand 12 in QTM und Abstand 6 in HTM (U2D2F2B2L2R2).

Ich verstehe nicht, warum dies für die Metrik mit halber Umdrehung der Fall ist. aber für die Vierteldrehungsmetrik ist es klar. In einer Position mit vollständiger Symmetrie müssen alle benachbarten Positionen dieselbe Pfadlänge haben (da alle Bewegungen symmetrisch sind). Eine Position mit vollständiger Symmetrie muss also entweder ein lokales Maximum oder ein striktes lokales Minimum sein. Aber strenge lokale Minima nicht existieren können ... es muss sein , einiger Schritt, um den Abstand zu dem gelösten Zustand reduziert, nur durch die Definition des Abstands. Das Symmetrieargument wird wie die angegebene Beispielposition in den Würfel übersetzt . $n \times n \times n$

— mjqxxxx
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Was für ein einfaches Argument, das ist genial!

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

Hervorragend, das ist ein sehr schönes Argument!

— Joe Fitzsimons

Hier ist ein extrem heuristisches Argument, das vorschlägt, wo lokale Maxima gefunden werden können. Sei die Anzahl der Positionen, für deren Lösung genau Züge erforderlich sind . Jede Bewegung von einer solchen Position bringt den Würfel zum Abstand , oder ; es sind also insgesamt Positionen zugänglich. Es gibt Züge von jeder Position, die zu neuen Positionen führen. eine Position im Abstand $N_d$ $d$ $d-1$ $d$ $d+1$ $N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$ $M$ $M$ $d$ ist ein lokales Maximum, wenn sich keine dieser Positionen im Abstand . Wenn wir davon ausgehen, dass diese Positionen gleichmäßig zufällig aus den zugänglichen Positionen gezogen werden (was natürlich nicht der Fall ist; dies ist der heuristische Teil), haben wir: $M$ $d+1$

\begin{array}{rcl} X_{d} & = & P [a given position at d is a local max] \\ = & {(\frac{N_{d - 1} + N_{d}}{N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}})}^{M} \\ = & {(1 + \frac{N_{d + 1}}{N_{d - 1} + N_{d}})}^{- M} . \end{array}

$\begin{eqnarray} X_d &=& P\left[\text{ a given position at }d\text{ is a local max }\right] \\ &=& \left(\frac{N_{d-1} + N_d}{N_{d-1} + N_d + N_{d+1}}\right)^M \\ &=& \left(1 + \frac{N_{d+1}}{N_{d-1} + N_d}\right)^{-M}. \end{eqnarray}$

$d$ $N_d X_d$

$3 \times 3 \times 3$ $M=18$ $N_d$ $N_{16} X_{16} = 0.2$ $N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$ $N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$ $d \le 16$ $d=17$ $12 \times 10^{18}$ $d=18$

— mjqxxxx
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N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}

$N_{d-1}+N_{d}+N_{d+1}$

N_{d}

$N_d$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d + 1

$d+1$

d

$d$ . Ich habe keine Ahnung, wie häufig oder selten diese Situationen sein werden.

— Joe Fitzsimons