Haben wir nichttriviale einheitliche Stromkreise?

Wenn ein Algorithmus in der Zeit abläuft, können wir ihn für das gleiche Größenproblem in eine "triviale" einheitliche Schaltkreisfamilie umwandeln, höchstens . $t(n)$ $\approx t(n)\log t(n)$

Andererseits könnte es sein, dass wir für dieses Problem viel kleinere gleichförmige Schaltkreise haben, selbst wenn eine optimale Laufzeit ist. Die Erzeugung der Schaltungen kann länger als dauern , ist jedoch klein. $t(n)$ $t(n)$

Aber wissen wir eigentlich, wie man solche Dinge baut? Ich denke, die anfängliche Frage ist

(1) Gibt es konstruktive Beispiele für nichttriviale gleichförmige Schaltkreise, dh gleichförmige Schaltkreise, deren Größe kleiner ist als die bekannteste Laufzeit eines Algorithmus für dasselbe Problem?

Nun, ich glaube, wenn ein Problem in , dann haben wir einen Exponential-Zeit-Algorithmus, um mit einer erschöpfenden Suche die optimalen Schaltkreise zu finden: Wenn , schreiben wir die Antworten auf alle Eingänge (Zeitdauer ); dann zählen wir alle Schaltkreise an Eingängen in zunehmender Größe auf, bis einer gefunden wird, der alle richtigen Antworten liefert. Die Suche endet entweder mit der Größe der Trivialumwandlung oder mit der Wahrheitstabelle der Funktion wenn die Ausgaben . (Edit: Thomas weist darauf hin, dass die Schranke wegen Shannon / Lupanov .) $\mathsf{DTIME(t(n))}$ $n$ $2^n$ $(2^n)t(n)$ $n$ $t(n) \log t(n)$ $2^n$ $\{0,1\}$ $O(2^n/n)$

Wir haben also ein unbefriedigendes "Ja" zu Frage (1): Nehmen Sie eine Sprache, die für jede Zeit über schwer ist , aber immer noch entscheidbar ist; Die obige Prozedur gibt eine Wahrheitstabelle der Größe . $2^n$ $2^n$

Also sollten wir Frage (1) verfeinern. Ich denke, die zwei interessantesten Fälle sind

(2) Gibt es konstruktive Beispiele für nichttriviale gleichförmige Schaltkreise in Polynomgröße ? (Auch wenn sie von sehr langsamen Algorithmen generiert werden.)

(3) Gibt es konstruktive Beispiele für polynomzeitgenerierbare, polynomgroße , nichttriviale, einheitliche Schaltungen?

Dies kann zu viel verlangt werden. Wie wäre es mit einer einfacheren Frage: Wissen wir überhaupt, dass so etwas möglich ist? Vielleicht gibt es keine nichttrivialen einheitlichen Schaltkreise?

(4) Ist die folgende Aussage für als falsch bekannt ? (Edit: , danke Thomas.) "Wenn eine Sprache einheitliche Schaltkreise der Größe , dann laufen auch Algorithmen in der Zeit . " (Wenn ja, wie sieht es dann aus, wenn "Uniform" durch "Polynom-Zeit-Uniform", "Logspace-Uniform" usw. ersetzt wird?) $s(n) = o(2^n)$ $o(2^n/n)$ $L$ $O(s(n))$ $\tilde{O}(s(n))$

Schließlich, wenn die obigen Fragen zu schwer sind,

(5) Haben wir irgendwelche Konstruktionen einheitlicher Schaltkreisfamilien, die nicht einfach Umwandlungen von Algorithmen in Schaltkreise sind (oder die Wahrheitstabelle aufschreiben)?

Nachsatz. Ein Experte, den ich zu diesem Thema befragt habe, erwähnte "Über mittlere Gleichförmigkeit und geringere Schaltungsgrenzen" ( pdf ), Santhanam und Williams 2013, was vielleicht das engste verwandte Werk ist, aber es beweist niedrigere Grenzen (die für Mehrfachzeit generierbaren Schaltungen nicht sind) zu mächtig). Ich würde mich für andere verwandte Arbeiten interessieren!

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— usul
quelle

1,2,3,4: Identitätsfunktion. 5. Mir ist nicht klar, was Sie unter "Umwandlung von Algorithmen in Schaltkreise" verstehen. Wir können einen einheitlichen Schaltkreis immer in eine Turing-Maschine (mit geringem Overhead) umwandeln.

— Kaveh

@Kaveh, zu # 5: Guter Punkt, aber ich denke, was ich im Sinn habe, ist, dass jemand eine explizite Konstruktion von einheitlichen Schaltkreisen aufschreibt, die nicht so aussieht, als würde "dieses TM in einen Schaltkreis umwandeln". Ich denke auch, dass die Umwandlung, die Sie erwähnen, nicht wirklich bedeutet, dass die Schaltung wie ein Algorithmus "aussieht". Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben eine Schaltung mit einer Größe von

, deren Generierung

Mal dauert . Wir können es in eine Zeit

TM verwandeln , ok, aber es ähnelt der Schaltung nicht sehr, und die naive Umwandlung dieser TM zurück in eine Schaltung hat jetzt die Größe ~

. Ich hoffe das zeigt warum die Frage mich interessiert.

n

$n$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

— Usul

@Kaveh: Wie antwortet die Identitätsfunktion auf 1-4?

— Joshua Grochow

@Joshua, wir können direkt einen einheitlichen Stromkreis der (Draht-) Größe O (n) beschreiben, der besser ist als die Umwandlung der Turing-Maschine zur Identität in einen Stromkreis.

— Kaveh

Mein Punkt ist, dass es wichtige kleine Details gibt, die wir beachten müssen, um die Frage beantwortbar zu machen. Ein weiteres Beispiel: BPP ist in P / Poly und die Konvertierung ist berechenbar. Wenn die Schaltungserzeugung durch einen effizienten Algorithmus erfolgt, der ihn mit dem Schaltungswert kombiniert, wird ein effizientes TM erhalten. Konzeptionell berechnen die Schaltung und das TM den gleichen Algorithmus. Die Tatsache, dass Größe und Zeit möglicherweise nicht genau übereinstimmen, ist normal. Sie sind für verschiedene Berechnungsmodelle definiert und wir wissen, dass sie nicht übereinstimmen. Die Zeit entspricht wohl eher der Tiefe als der Größe.

— Kaveh

Hier finden Sie Antworten auf Ihre letzten beiden Fragen.

(5) Sortiernetzwerke sind einheitliche Schaltkreise, die so schnell sortieren wie die besten RAM-Algorithmen, aber definitiv nicht nur Konvertierungen von RAM-Algorithmen (z. B. Quicksort). [ AKS83 , G14 ]

$s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$ $\varepsilon>0$ $(1+o(1)) \cdot 2^n/n$ $f$ $\Omega(3^n)$ $O(n \cdot 3^n)$ $f$ $O(2^n/n)$ $2^{\mathrm{poly}(n)}$ $\tilde{O}(2^n/n)$ $s(n) = o(2^n/n)$

Das ist eine interessante Frage; Ich hoffe, jemand kann antworten (1) - (3).

— Thomas unterstützt Monica
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Danke, Sie haben Recht, ich wollte diesen "oberen" Fall intuitiv ausschließen, kannte aber nicht das richtige Asymptotikum. Ich habe die Frage bearbeitet, um diesen Fall einzuschließen.

— usul