Ein Problem bei der Kantenpartitionierung in kubischen Diagrammen

Wurde die Komplexität des folgenden Problems untersucht?

Eingabe : ein kubischer (oder regelmäßiger) Graph , eine natürliche ObergrenzeG = ( V , E ) $3$$G=(V,E)$$t$

Frage : Gibt es eine Aufteilung von in Teile der Größe so dass die Summe der Ordnungen der (nicht notwendigerweise verbundenen) entsprechenden Teilgraphen höchstens ?| E | / 3 3 $E$$|E|/3$$3$$t$

Verwandte Arbeiten Ich habe in der Literatur eine ganze Reihe von Arbeiten gefunden, die sich als notwendig und / oder als ausreichend für das Vorhandensein einer Aufteilung in einige Graphen mit drei Kanten erweisen , die irgendwie verwandt sind, und einige andere zu Fragen der Rechenkomplexität von Problemen, die sich mit der Aufgabe überschneiden oben (zB muss die Partition Subgraphen ergeben, die isomorph zu oder , und keiner Partition ist eine Gewichtung zugeordnet), aber keine von ihnen hat sich genau mit dem obigen Problem befasst. P $K_{1,3}$$P_4$

Es wäre etwas langweilig, all diese Artikel hier aufzuführen, aber die meisten zitieren sie entweder oder werden von Dor und Tarsi zitiert .

20101024: Ich habe diese Arbeit von Goldschmidt et al. , die beweisen, dass das Problem der Kantenaufteilung eines Graphen in Teile, die AT MOST Kanten enthalten, so dass die Summe der Ordnungen der induzierten Teilgraphen höchstens ist, auch bei NP-vollständig ist . Ist es offensichtlich, dass das Problem auf kubischen Graphen NP-vollständig bleibt, wenn wir strikte Gleichheit bezüglich fordern ?t k = 3 $k$$t$$k=3$$k$

Zusätzliche Information

Ich habe einige Strategien ausprobiert, die fehlgeschlagen sind. Genauer gesagt habe ich einige Gegenbeispiele gefunden, die beweisen, dass:

• Das Maximieren der Anzahl der Dreiecke führt nicht zu einer optimalen Lösung. was ich irgendwie kontraintuitiv finde, da Dreiecke jene Untergraphen mit der niedrigsten Ordnung unter allen möglichen Graphen an drei Kanten sind;

• Eine Unterteilung des Graphen in zusammenhängende Komponenten führt ebenfalls nicht unbedingt zu einer optimalen Lösung. Der Grund, warum es vielversprechend erschien, mag weniger offensichtlich sein, aber in vielen Fällen kann man sehen, dass das Vertauschen von Kanten zum Verbinden eines bestimmten Teilgraphen zu einer Lösung mit geringerem Gewicht führt (Beispiel: Versuchen Sie dies an einem Dreieck mit jeweils einer zusätzlichen Kante Scheitelpunkt; das Dreieck ist ein Teil, der Rest ist ein zweiter, mit einem Gesamtgewicht von 3 + 6 = 9. Wenn Sie dann zwei Kanten vertauschen, erhalten Sie einen Pfad und einen Stern mit einem Gesamtgewicht von 4 + 4 = 8.)

Hier ist ein Vorschlag, wie man zeigt, dass es NP schwer ist. Ich weiß nicht, ob das funktioniert oder nicht. Betrachten Sie zunächst dasselbe Problem bei Multigraphen. Dort ist die NP-Härte möglicherweise leichter nachzuweisen. Versuchen Sie, den kubischen MAX CUT zu reduzieren, der sich nur schwer annähern lässt (Berman und Karpinski "On Some Tighter Inapproximability Results"). Teilen Sie jede Kante in zwei Teile und fügen Sie an jedem der neuen Eckpunkte 2. Grades einen Eckpunkt mit Selbstschleife hinzu. Entspricht Ihre maximale Partition einem maximalen Schnitt?

-

Hier ist ein bisschen mehr Erklärung.

(1) Das Problem der Maximierung (Anzahl der Quellen + Anzahl der Senken) über alle Ausrichtungen eines kubischen Graphen hängt mit MAXCUT durch eine lineare Funktion zusammen. Dies erfordert eine gewisse Übereinstimmung zwischen maximalen Schnitten und Quellen- und Senken-maximalen Ausrichtungen. In einer Richtung können wir in einem maximalen Schnitt (U, V) alle Kanten von U nach V ausrichten. Die Innenkanten E (U) bilden eine Übereinstimmung, so dass diese für E (V) und beliebig und ähnlich ausgerichtet werden können Die Gesamtzahl der Quellen und Senken ist eine lineare Funktion der Größe des Schnitts. In der anderen Richtung ergibt bei einer maximalen Ausrichtung von Quellen und Senken die Aufteilung U = Scheitelpunkte mit Grad 0 oder 1, V = Scheitelpunkte mit Grad 2 oder 3 einen Schnitt.

(2) In der oben beschriebenen kantenhalbierenden Transformation ist in einer optimalen Konfiguration jede Schleife genauso gefärbt wie die Kante daneben, und wlog diese Kante ist genauso gefärbt wie die andere (nicht schleifenförmige) Kante daneben Das. So hat jede halbierte Kante eine Farbe, die von ihrer angebrachten Schleife kommt, und eine andere Farbe. Dies entspricht einer Orientierung und (1) gilt.