Reduktion von P gegen NP auf SAT

Die folgende Frage verwendet Ideen aus der Kryptographie, die auf die Komplexitätstheorie angewendet werden. Es handelt sich jedoch um eine rein komplexitätstheoretische Frage, für deren Beantwortung keinerlei Kryptowissen erforderlich ist.

Ich schreibe diese Frage bewusst sehr informell. Mangels Details wird es möglicherweise etwas falsch angegeben. Bitte zögern Sie nicht, auf die Korrekturen in Ihren Antworten hinzuweisen.

In der folgenden Zeitung:
Nicht formbare Kryptographie, Danny Dolev, Cynthia Dwork und Moni Naor, SIAM Rev. 45, 727 (2003), DOI: 10.1137 / S0036144503429856 ,
schreiben die Autoren:

Angenommen, die Forscherin A hat einen Beweis erhalten, dass P ≠ NP ist, und möchte diese Tatsache Professor B mitteilen. Angenommen, A beweist, um sich zu schützen, ihren Anspruch auf B auf eine wissensfreie Weise ...

Es gibt mehrere Standard-NP-vollständige Probleme, wie Erfüllbarkeit (SAT), Graph-Hamiltonicity und Graph-3-Colorability (G3C), für die es keine wissensbasierten Beweise gibt. Die Standardmethode zum Beweisen eines NP-Theorems besteht darin, es zunächst auf eine Instanz der oben genannten NP-vollständigen Probleme zu reduzieren und dann den Null-Wissens-Beweis durchzuführen.

Diese Frage betrifft eine solche Reduzierung. Angenommen, P vs. NP wird auf eine der folgenden Arten abgerechnet:

• P = NP
• P ≠ NP
• P vs. NP ist unabhängig von der axiomatischen Standardsatztheorie.

Sei σ der Beweis. Dann ist P vs. NP in einer NP- Sprache (da es einen kurzen Beweis dafür gibt). Die Reduktion vom Satz (sagen wir P ≠ NP) zum NP-vollständigen Problem (sagen wir SAT) ist unabhängig von σ. Das ist:

There exists a formula ϕ which is satisfiable if and only if P ≠ NP.

Das ist weit jenseits meiner Vorstellungskraft! Es scheint, dass es unwahrscheinlich ist, dass wir eine solche Formel ϕ konstruieren können, selbst wenn wir den Beweis σ erhalten.

Könnte jemand etwas Licht ins Dunkel bringen?

Außerdem sei L eine NP-Sprache, in der P gegen NP liegt. Die Sprache besteht aus unendlich vielen Theoremen wie P vs. NP beliebiger Größe.

Was ist ein Kandidat für L?
Kann L NP-vollständig sein?

Die Möglichkeit, das Testen einer mathematischen Aussage (z. B. eine Auflösung von P gegen NP) als eine Frage der Form "ist Formel .. erfüllbar" anzusehen, ist die folgende:

Korrigieren Sie ein Axiomensystem. Wenn eine Zeichenfolge der Länge n ein Beweis für die mathematische Aussage im Axiomensystem ist, kann man dies auf einfache Weise definieren: Die Zeichenfolge sollte aus Sätzen bestehen. Jeder Satz sollte entweder ein Axiom sein oder aus den vorhergehenden Sätzen durch eine der Inferenzregeln folgen.

Es ist kein Problem, eine Boolesche Formel zu definieren, die all dies überprüft. Alles was Sie wissen sollten ist die Länge n des Beweises!

P vs. NP ist in NP (da es einen kurzen Beweis dafür gibt)

Das macht für mich nicht viel Sinn. NP ist eine Komplexitätsklasse für Entscheidungsprobleme mit beliebig großen Instanzen, und P vs. NP hat sie nicht. Nach dem, was Sie später sagen:

sei L eine NP-Sprache, in der P gegen NP liegt.

Sie können stattdessen bedeuten, dass P vs. NP ein Beispiel für ein NP-Problem ist. aber natürlich ist es das! Es ist auch ein Beispiel für eine unendliche Anzahl von P-, DTIME (n) usw.-Problemen. Insbesondere sind hier zwei DTIME (1) -Kandidaten für L, von denen genau einer richtig ist: immer zurückkehren true; oder immer zurückkehren false.